Question

20．如图，已知在△ABC 中，AB＞BC，BD平分∠ABC，P点在BD上一点，连接PA、PC．求证：AB-BC＞PA-PC．

Answer 1

分析 要证明AB-BC＞PA-PC，由于四条线段比较分散，可考虑通过三角形全等把它们集中起来．由于AB＞BC，可在AB上截取BM=BC，证明△BPN与△BPC全等，在三角形AMP中，利用三边关系得到AM与PA、PC的关系，等量代换后得到要证明的关系．

解答 解：在线段BA上截取BM=BC，连接PM．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
在△BMP与△BCP中
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△BMP≌△BCP
∴PC=PM．
在△AMP中，∵AM＞PA-PM，
又∵AM=AB-BM，BM=BC，PM=PC
∴AB-BC＞PA-PC．

点评 本题考查了三角形全等及三角形的三边关系．在线段AB上截取BM=BC或延长BC到N使BA=BN，利用三角形全等，把BC、PC、AB、PA集中在一个三角形中，利用三角形三边关系是解决本题的关键．