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如图1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.

图1

(1)求证:CF=CH;

(2)如图2,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.

                  

图2

 

【答案】

(1)通过证明△ACB≌△ECD,从而得出CF=CH

(2)ACDM是菱形

【解析】

试题分析:(1) 证明:在△ACB和△ECD中,

∵∠ACB=∠ECD=,∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB, ∴∠1=∠2.…………………1分

又∵AC=CE=CB=CD,  ∴∠A=∠D=.∴△ACB≌△ECD .……………………2分

∴CF="CH" . …………………………………………………………………………3分

(2) 四边形ACDM是菱形. ……………………………………………………………4分

证明: ∵∠ACB=∠ECD=, ∠BCE=,∴∠1=, ∠2=.  …………5分

又∵∠E=∠B=,∴∠1=∠E, ∠2=∠B.  …………………………………6分

∴AC∥MD,  CD∥AM . ∴ACDM是平行四边形. …………………………7分

又∵AC=CD,  ∴ACDM是菱形.  ……………………………………………8分

考点:三角形的全等、菱形的判定、旋转的性质

点评:此题是简单题,主要要求学生熟悉并熟练运用三角形全等的判定与菱形的判定。

 

练习册系列答案
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23、如图1,在△ABC和△DEF中,AC∥DE,∠EFD与∠B互补,DE=kAC(k>1).试探索线段EF与AB的数量关系,并证明你的结论.
说明:如果你反复探索没有解决问题,可以选取k=1(图2)来证明,此时满分7分.

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(2013•济南)(1)如图1,在△ABC和△DCE中,AB∥DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条直线上.
求证:∠A=∠D.
(2)如图2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOD=120°,求AC的长.

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数学活动课上,甲、乙两位同学在研究一道数学题:“已知:如图1,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,∠B=50°,∠E=32°,且BC=EF.试画直线m,l,使直线m将△ABC分成的两个小三角形与直线l将△DEF分成的两个小三角形分别相似,并标出每个小三角形各内角的度数.”
甲同学是这样做的:如图2,使得两个直角三角形的斜边重合,以斜边中点0为圆心,OB长为半径作出辅助圆,根据到定点的距离等于定长的点在圆上,可知A、B(E)、C(F)、D在⊙0上.设BD所在的直线m与AC所在的直线l交于点G,根据同弧所对的圆周角相等,由∠ABC=50°,∠DEF=32°,易求得∠ABG=DFG=18°,再由∠A=∠D=90°,可求得∠AGB=∠DGF=72°,∠GCB=40°,∠BGC=108°,从而△AGB∽△DGF.△GBC∽△GEF.
乙同学在甲同学的启发下,利用辅助圆又补充了其它分割方法.
你看明白甲同学的分割方法了吗?请你仿照甲同学的方法,把这道题其它的所有分割方法补充完整.
要求:不需写解答过程.如图2所示.利用辅助圆画出示意图,标明直线及每个小三角形各内角的度数即可.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.
(1)试说明CF=CH;
(2)如图2,△ABC不动,将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转,当旋转角∠BCD为多少度时,四边形ACDM是平行四边形,请说明理由;
(3)当AC=
2
时,在(2)的条件下,求四边形ACDM的面积.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,在△ABC和△DBE中,AB=AC,DB=DE,∠CAB+∠BDE=180°,∠CAB=α,P为CE的中点,连接AP、DP.若α=120°,探究线段AP、DP的关系.
说明:如果你经过反复探索没有解决问题,可以更改条件将“α=120°”改为“α=90°”,选取图2完成证明得10分.

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