Question

15．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BD=8，AC=4，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求线段OP的长；
（2）不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．

Answer 1

分析 （1）只要证明四边形OCPD是矩形，求出CD即可解决问题．
（2）四边形ABCD、四边形BOPC、四边形OCPD、四边形AOPD都是平行四边形．

解答 （1）解：∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行时四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO=OC=2，OB=OD=4，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴CD=OP．
在Rt△COD中，易知CD=2$\sqrt{5}$，
∴OP=CD=2$\sqrt{5}$．

（2）四边形ABCD、四边形BOPC、四边形OCPD、四边形AOPD都是平行四边形．

点评 本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．