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精英家教网如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BE于点E,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若DF=3,DE=2
①求
BEAD
值;
②求图中阴影部分的面积.
分析:(1)作辅助线,连接OD.根据切线的判定定理,只需证DF⊥OD即可;
(2)①连接BD.根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD,所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的对应边成比例求得
BE
AD
=
DE
DF
=
2
3

②连接OC,交AD于G.由①,设BE=2x,则AD=3x.利用①中的△BDE∽△ABE的对应边成比例的性质求得
BE
AE
=
DE
BE
,据此列出关于x的方程,解方程求得x=2,继而可以求出AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8;然后由勾股定理知AB=4
3
,在直角三角形ABE中求得∠1=30°;再由三角形的角平分线的性质、等腰三角形的性质及边角关系求得AG=DG,所以△ACG≌△DOG;最后根据两个全等三角形的面积相等的性质求扇形的面积即可.
解答:精英家教网证明:(1)连接OD
∵OA=OD,∴∠1=∠2
∵∠1=∠3,∴∠2=∠3
∴OD∥AF
∵DF⊥AF,∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切线
(2)①解:连接BD
∵直径AB
∴∠ADB=90°
∵圆O与BE相切
∴∠ABE=90°
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°
∴∠DAB=∠DBE
∴∠DAB=∠FAD
∵∠AFD=∠BDE=90°
∴△BDE∽△AFD
BE
AD
=
DE
DF
=
2
3

(2)②解:连接OC,交AD于G
由①,设BE=2x,则AD=3x
∵△BDE∽△ABE∴
BE
AE
=
DE
BE

2x
3x+2
=
2
2x

解得:x1=2,x2=-
1
2
(不合题意,舍去)
∴AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8
∴AB=
AE2-BE2
=
82-42
=4
3
,∠1=30°
∴∠2=∠3=∠1=30°,∴∠COD=2∠3=60°
∴∠OGD=90°=∠AGC,∴AG=DG
∴△ACG≌△DOG,∴S△AGC=S△DGO
∴S阴影=S扇形COD=
60
360
π?OA2=
1
6
π×(2
3
)2=2π
点评:本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及扇形面积的计算.比较复杂,解答此题的关键是作出辅助线,利用数形结合解答.
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3
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