Question

【题目】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：PD=PF；

（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）半径为2.5；DE=2.4；

【解析】

(1)、利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE，进而得出∠DAC=∠DBA；(2)、利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF；(3)、利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．

(1)、证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，

∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；

(2)、证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，

∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°，又∵∠ADE =∠DAP，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，

(3)、连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD，∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，

故⊙O的半径为2.5，∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4． 即DE的长为2.4．