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如图,△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD.有下列四个结论:
(1)∠PBC=15°;(2)AD∥BC;(3)直线PC与AB垂直;(4)四边形ABCD是轴对称图形.
其中正确结论个数是(  )
分析:(1)先求出∠BPC的度数是360°-60°×2-90°=150°,再根据对称性得到△BPC为等腰三角形,∠PBC即可求出;
(2)根据题意:有△APD是等腰直角三角形;△PBC是等腰三角形;结合轴对称图形的定义与判定,可得四边形ABCD是轴对称图形,进而可得②③④正确.
解答:解:∵△ABP≌△CDP,
∴AB=CD,AP=DP,BP=CP.
又∵△ABP与△CDP是两个等边三角形,
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°.
①根据题意,∠BPC=360°-60°×2-90°=150°
∵BP=PC,
∴∠PBC=(180°-150°)÷2=15°,
故本选项正确;

②∵∠ABC=60°+15°=75°,
∵AP=DP,
∴∠DAP=45°,
∵∠BAP=60°,
∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°,
∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°,
∴AD∥BC;
故本选项正确;

③延长CP交于AB于点O.
∠APO=180°-(∠APD+∠CPD)=180°-(90°+60°)=180°-150°=30°,
∵∠PAB=60°,
∴∠AOP=30°+60°=90°,
故本选项正确;

④根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形,
故本选项正确.
综上所述,以上四个命题都正确.
故选D.
点评:本题考查轴对称图形的定义与判定,如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.
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11、如图,△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD.有下列四个结论:
①∠PBC=15°;②AD∥BC;③直线PC与AB垂直;④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确的是
①②③④
(只需填入序号).

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60
60
度.

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其中正确结论个数是( )

A.1
B.2
C.3
D.4

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