Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B，DE交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若△DCE为直角三角形，求线段BD的长；
（3）求线段CE长的取值范围．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，可得∠B=∠C，然后由∠ADE=∠B，证得∠ADE=∠B，然后由∠DAE是公共角，即可证得结论；
（2）由△DCE为直角三角形，可得有两种可能：①∠CED=90°②∠EDC=90°，然后分别去分析，利用等腰三角形的性质与相似三角形的性质，求得答案；
（3）首先证得△CDE∽△BAD，然后设BD=y，CE=x，再利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；         

（2）△DCE为直角三角形，有以下两种可能：①∠CED=90°②∠EDC=90°．
①当∠CED=90°时，即∠AED=90°，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴BD=8．             
②当∠EDC=90°时，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠EDC=90°，
如图，过A作AF⊥BC于F，则BF=8，
∵∠B是公共角，∠AFB=∠BAD=90°，
∴△BFA∽△BAD，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BF}{AB}$，
∴$\frac{10}{BD}=\frac{8}{10}$，
∴BD=$\frac{25}{2}$．
综上所述，△DCE为直角三角形时，BD=8或BD=$\frac{25}{2}$．

（3）由（2）得：∠EDC=∠BAD，
∵∠B=∠C，
∴△CDE∽△BAD，
设BD=y，CE=x，
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{10}{16-y}=\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∵0＜BD＜16，
∴0＜x≤6.4．

点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．注意利用相似三角形的对应边成比例求线段的长是解此题的关键．