Question

17．如图，在?ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ADEC是矩形；
（2）在?ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，结合条件可先证得四边形ADEC为平行四边形，结合AC⊥BC，可证得结论；
（2）由直角三角形的性质可求得AB的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再利用矩形的性质可求得AD的长，结合AC可求得矩形ADEC的面积．

解答 （1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
又∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°．
∴四边形ADEC是矩形；
（2）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵M是AB的中点，
∴AB=2CM=10．
∵AC=8，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD．
又∵四边形ADEC是矩形，
∴EC=AD．
∴EC=BC=6．
∴矩形ADEC的面积=6×8=48．

点评 本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键．