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(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D.

求证:(1)△CDE是等腰三角形;

(2)△BEC∽△ADC;

(3).

证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵四边形ABDE是圆内接四边形,∴∠CED=∠ABC,∴∠C=∠CED,∴DE=CD,即△CDE是等腰三角形;

(2)∵∠CBE与∠CAD是所对的圆周角,∴∠CBE=∠CAD,又∵∠BCE=∠ACD,∴△BEC∽△ADC;

(3)由△BEC∽△ADC,知,即CD•BC=AC•CE,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD是底边BC上的高,又∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点;∴CD=BC,又∵AB=AC,∴CD•BC=AC•CE=BC•BC=AB•CE,即BC2=2AB•CE.

【解析】

(1)先根据AB=AC,得出∠ABC=∠C,再由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠ABC,故可得出∠C=∠CED,由此可得出结论;(2) 欲证△BEC∽△ADC,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等,即∠AEB=∠ADC=90°,此时,再求另一角对应相等即可;(3)由△BEC∽△ADC可证CD•BC=AC•CE,又D是BC的中点,AB=AC,即可证BC2=2AB•CE.

考点:等腰三角形的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.

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