Question

10．如图所示抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（-6，0 ）和点B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若三角形ACD 的面积为2，求抛物线的关系式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，∠PAB=∠DAC且，
求平移后的抛物线的关系式．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是-3和1，设抛物线解析式的交点式y=a（x+6）（x-2），再配方为顶点式，可确定顶点坐标；
（2）设AC与抛物线对称轴的交点为E，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，求出点E的坐标，即可得到DE的长，然后由S_△ACD=$\frac{1}{2}$×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可确定抛物线的解析式；
（3）先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函数求出tan∠DAC=$\frac{1}{3}$．设y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6=-$\frac{1}{2}$（x+2）²+8向右平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²+8，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．根据正切函数的定义求出OF=2．分两种情况进行讨论：①如图2①，F点的坐标为（0，2），②如图2②，F点的坐标为（0，-2）．针对这两种情况，都可以先求出点P的坐标，再得出m的值，进而求出平移后抛物线的解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-6，0）和点B（2，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+6）（x-2）=ax²+4ax-12a，
∵y=a（x²+4x-12）=a（x+2）²-16a，
∴顶点D的坐标为（-2，-16a）；
（2）设AC与抛物线对称轴的交点为E．如图1所示：
∵抛物线y=ax²+4ax-12a与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，-12a）．
设直线AC的解析式为：y=kx+t，
则：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+t=0}\\{t=-12a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2a}\\{t=-12a}\end{array}\right.$
∴直线AC的解析式为：y=-2ax-12a，
∴点E的坐标为：（-2，-8a），
∴DE=-16a-（-8a）=-8a，
∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=$\frac{1}{2}$×DE×OA=$\frac{1}{2}$×（-8a）×6=-24a=12，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6；
（3）∵y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
∴顶点D的坐标为（-2，8），C（0，6），
∵A（-6，0），
∴AD²=（-2+6）²+8²=80，CD²=（-2-0）²+（8-6）²=8，AC²=（0+6）²+（6-0）²=72，
∴AD²=CD²+AC²，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠DAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∵∠PAB=∠DAC，
∴tan∠PAB=tan∠DAC=$\frac{1}{3}$．
设y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+1=-$\frac{1}{2}$（x+2）²+8向右平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²+8，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．
∵tan∠PAB=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{OF}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴OF=2，则F点的坐标为（0，2）或（0，-2）．
分两种情况：
①如图2，当F点的坐标为（0，2）时，直线AF的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{22}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴P点坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{22}{9}$），
将P点坐标（$\frac{4}{3}$，$\frac{22}{9}$）代入y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²+8，得$\frac{22}{9}$=-$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{3}$+m）²+4，解得m=-$\frac{14}{3}$或2（舍去）
∴平移后抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{14}{3}$）²+8；
②如图3，当F点的坐标为（0，-2）时，直线AF的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-2，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=-\frac{26}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍弃），
∴P点坐标为（$\frac{8}{3}$，-$\frac{26}{9}$），
将P点坐标（$\frac{8}{3}$，-$\frac{26}{9}$）代入y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²+8，
得-$\frac{26}{9}$=-$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{3}$+m）²+8，解得m=-$\frac{22}{3}$或2（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{22}{3}$）²+8；
综上可知，平移后抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{14}{3}$）²+8或y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{22}{3}$）²+8．

点评 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．