Question

6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4$\sqrt{2}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠ODF=90°即可；
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，根据勾股定理求出BD，进而根据勾股定理求得DG，根据角平分线性质求得DE=DG=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，然后根据△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠EAD．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠ODA=∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，
∴EF与⊙O相切．
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=6，AD=4$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2，
∵OD=OB=3，
设OG=x，则BG=3-x，
∵OD²-OG²=BD²-BG²，即3²-x²=2²-（3-x）²，
解得x=$\frac{7}{3}$，
∴OG=$\frac{7}{3}$，
∴DG=$\sqrt{O{D}^{2}-O{G}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，
∴DE=DG=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{OD}{AE}$，即$\frac{EF-ED}{EF}$=$\frac{OD}{AE}$，
∴$\frac{EF-\frac{4}{3}\sqrt{2}}{EF}$=$\frac{3}{\frac{16}{3}}$，
∴EF=$\frac{64}{21}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．