Question

19．已知如图，圆P经过点A（-4，0），点B（6，0），交y轴于点C，∠ACB=45°，连结AP、BP．
（1）求圆P的半径；
（2）求OC长；
（3）在圆P上是否存在点D，使△BCD的面积等于△ABC的面积？若存在求出点D坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠APB=2∠ACB=90°，AB=10，△PAB为等腰直角三角形，即可求得圆P的半径；
（2）作PN⊥OC，PM⊥x轴，则ON=PM=$\frac{1}{2}$AB=5，再根据勾股定理求出CN的长度，则OC=ON+NC；
（3）分两种情况，①当D与A重合时，易得D（-4，0），②当D与A重合时，根据等底等高的性质，过A作BC的平行线，与圆P的交点即为所求的点D．

解答 解：（1）∵A（-4，0），B（6，0）
∴AB=10，
∵∠ACB=45°，
∴∠APB=90°，
∴△PAB为等腰直角三角形，且PA=PB，
∴PA²+PB²=AB²，
解得PA=PB=$5\sqrt{2}$，
∴圆P的半径为$5\sqrt{2}$；
（2）作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，连接PC，
∵△PAB为等腰直角三角形，
∴PM=AM=BM$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OM=AM-AO=1，
∴ON=PM=5，PN=OM=1，
在Rt△PNC中有：CN=$\sqrt{{PC}^{2}-P{N}^{2}}$=$\sqrt{50-1}$7，
∴OC=ON+NC=5+7=12，
∴OC=12；
（3）∵S_△BCD=S_△ABC，D为圆P上一点，
 ①当D与A重合时，仍满足条件，
∴D₁（-4，0），
②当D与A不重合时，过A作BC的平行线，与圆P的交点，即为所求的点D，
∵AD∥BC
∴S_△BCD=S_△ABC（等底等高），
  作AG⊥BC于G，作DH⊥BC于H，DQ⊥x轴于Q，
∵cos∠ABC=$\frac{OB}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin∠ABC=$\frac{OC}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AG=AB•cos∠ABC=$2\sqrt{5}$，
∵DH=AG=AB•sin∠ABC=$4\sqrt{5}$，
∵∠DBC=∠DAC=∠ACB=45°，
∴BH=DH=$4\sqrt{5}$，
∴AD=GH=BH-BG=$2\sqrt{5}$，
∴DQ=AD•sin∠DAQ=AD•sin∠ABC=4，
  AQ=AD•cos∠DAQ=AD•cos∠ABC=2，
∴OQ=OA+AQ=6，
∴D₂（-6，4）
综上：D点的坐标为（-4，0）或（-6，4）．

点评 此题考查了圆心角与圆周角之间的关系，圆中线段长度的求法，三角形面积转移及动点问题．