Question

8．如图，在?ABCD中，∠BAD=60°，点A在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，tan∠OAD=$\sqrt{3}$，AD和DC的长分别是方程x²-8x+12=0的两个根（AD＞DC）．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）已知直线AB上有一点M，在坐标平面内是否存在一点N，使O，A，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出N点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出已知方程的解确定出AD与DC的长，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出∠OAD的度数，进而得到∠ADO的度数，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，确定出A的坐标即可；
（2）过C作CE⊥y轴，过B作BF⊥x轴，分别在直角三角形CDE与直角三角形ABF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CE与AF的长，利用勾股定理求出DE与BF的长，由OD+DE求出OE的长，由OA+AF求出OF的长，确定出B与C坐标，设直线BC解析式为y=kx+b，把B与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线BC解析式；
（3）在坐标平面内存在一点N，使O，A，M，N为顶点的四边形是菱形，理由为：如图所示，分三种情况，四边形OAMN为菱形；四边形OAM′N′为菱形；四边形OAM′N″为菱形，利用菱形的性质及等边三角形的性质确定出满足题意N的坐标即可．

解答 解：（1）∵AD和DC的长分别是方程x²-8x+12=0的两个根（AD＞DC），
∴AD=6，DC=2，
在Rt△AOD中，tan∠OAD=$\sqrt{3}$，
∴∠OAD=60°，
∴∠ADO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AD=3，
则A（3，0）；
（2）过C作CE⊥y轴，过B作BF⊥x轴，
∵∠DAB=60，∠ADC=120°，
∴∠EDC=∠ABF=30°，
在Rt△DCE和Rt△ABF中，CD=AB=2，
∴CE=AF=1，
根据勾股定理得：DE=BF=$\sqrt{3}$，
∴OE=OD+DE=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，即C（1，4$\sqrt{3}$），
OF=OA+AF=3+1=4，即B（4，$\sqrt{3}$），
设直线BC解析式为y=kx+b，
把B与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=\sqrt{3}}\\{k+b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\sqrt{3}$，b=5$\sqrt{3}$，
则直线BC解析式为y=-$\sqrt{3}$x+5$\sqrt{3}$；
（3）在坐标平面内存在一点N，使O，A，M，N为顶点的四边形是菱形，如图所示，
分三种情况考虑：
（i）四边形OAMN为菱形，可得ON=OA=AM=MN=3，
∵ON=OA=3，∠OAN=60°，
∴△OAN为等边三角形，
∴此时N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
（ii）四边形OAM′N′为菱形，可得M′N′=AN′=OA=OM′=3，此时N′（$\frac{9}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
（iii）四边形OAM′N″为菱形，可得M′N″=AM′=OA=ON″=3，此时N″（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
综上，N的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{9}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一元二次方程的解法，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，含30度直角三角形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．