Question

19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，将△ABC折叠，使A点与D点重合，EF为折痕．
（1）求证：∠CDF=∠BED；
（2）若AB=16，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得到∠A=∠B=45°，根据折叠的性质得到∠EDF=∠A=45°根据角的和差即可得到∠CDF=∠BED；
（2）由△ABC是等腰直角三角形，AB=16，求出AC=BC的值，得出CD=BD的值，设AF=FD=x，则FC=8$\sqrt{2}$-x，由CF²+CD²=DF²，得出x=5$\sqrt{2}$，CF=3$\sqrt{2}$，再过D作DM⊥AB与M，得到△DBM是等腰直角三角形，求得DM，由sin∠BED=sin∠CDF求得DE、BE的值，△AEF的面积=$\frac{1}{2}$（△ABC的面积-△CDF的面积-△BDE的面积）即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠C=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∵将△ABC折叠，使点A与点D重合，
∴∠EDF=∠A=45°，
∵∠CDE=∠DEB+∠B，
∴∠CDF+∠EDF=∠DEB+∠B，
∴∠CDF=∠BED；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=16，
∴AC=BC=8$\sqrt{2}$，
∴CD=BD=4$\sqrt{2}$，
设AF=FD=x，则FC=8$\sqrt{2}$-x，
在Rt△CDF中，CF²+CD²=DF²，
即x²=（8$\sqrt{2}$-x）²+（4$\sqrt{2}$）²，
解得：x=5$\sqrt{2}$，
∴CF=3$\sqrt{2}$，
过D作DM⊥AB与M，如图所示：
∴△DBM是等腰直角三角形，
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4$\sqrt{2}$=4，
∵sin∠BED=sin∠CDF=$\frac{CF}{DF}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BED=$\frac{DM}{DE}$=$\frac{3}{5}$，
∴DE=$\frac{4×5}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴BE=16-DE=$\frac{28}{3}$，
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}$（△ABC的面积-△CDF的面积-△BDE的面积）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$AC•BC-$\frac{1}{2}$CF•CD-$\frac{1}{2}$DM•BE）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×8$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{28}{3}$）
=$\frac{50}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角函数、三角形面积计算等知识；熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．