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(2008•随州)在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2.将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形DEFG(如图1).
(1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式;
(2)将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,平移t秒时,所成图形如图2所示.
①图2中,在0<t<1的条件下,连接BF,BF与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;
②在0<t<3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:是否存在t值,使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似?若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索).

【答案】分析:(1)首先确定点B、F的坐标,将点的坐标代入函数解析式,解方程组即可求得;
(2)①首先求得对称轴,根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得.
②利用相似三角形的性质即可求得:过点F作FP⊥FB,FP交x同于点P,延长FE交AB于点M,
要使Rt△PFB∽Rt△AOC,只要FB:FP=2:1即可,而Rt△BMF∽Rt△PGF,所以根据只须,列出方程解答即可求出此时点P的坐标.
解答:解:(1)B(-1,2),F(2,1)
∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,

所求抛物线y=-x2+(3分)

(2)①如图,连接AQ,AF,延长FE交AB于点M,
由题意得:OD=t,FM=3-t,
(1)中所求抛物线的对称轴为直线(4分)
∴S1=DE•OD=t(5分)
S2=S△AFB-S△AQB=•2•(3-t)-•2•

∴S1+S2=
S1+S2的值不变(7分)
②存在满足题意的t值,t1=1,t2=,此时点P的坐标为(,0)及(-,0)(12分)
(说明:写出一个t值及对应的点P坐标,给3分)
下面给出求t值及点P坐标的一种思路,供参考.如图1,
过点F作FP⊥FB,FP交x同于点P,延长FE交AB于点M,
要使Rt△PFB∽Rt△AOC,
只要FB:FP=2:1,
而Rt△BMF∽Rt△PGF,

只须,即3-t=2,t=1
此时点P的坐标为
要使Rt△PFB∽Rt△AOC,只要FB:FP=1:2,
同理只须

此时矩形DEFG所在位置如图2所示,点P的坐标为(-,0).
∴t1=1,
故点P的坐标为(,0)及(-,0).
点评:此题考查了二次函数与四边形的综合知识,解题时要仔细审题,理解题意;特别是要注意数形结合思想与方程思想的应用.
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①图2中,在0<t<1的条件下,连接BF,BF与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;
②在0<t<3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:是否存在t值,使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似?若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索).

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(1)y与x之间的函数关系式是______,自变量x的取值范围为______;
(2)经测算:年销售量不低于90万件时,每件产品成本降低2元,设销售该产品年获利润为W(万元)(W=年销售额-成本-投资),求出年销售量低于90万件和不低于90万件时,W与x之间的函数关系式;
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(2)现将五个白色小球取出后,放入另外一个不透明的盒子内,此时,玲玲和亮亮做游戏,他俩约定游戏规则,从这两个盒子中各摸出一个小球,它们上面的数字之和为奇数,玲玲获胜;和为偶数,亮亮获胜,这个游戏规则对双方公平吗为什么?

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