Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝8，点H是直线AB边上的一个点，连接DH交直线CB的干点E，交直线AC于点F，连接BF．

（1）如图①，点H在AB边上，若四边形ABCD是正方形，求证：△ADF≌△ABF；

（2）在（1）的条件下，若△BHF为等腰三角形，求HF的长；

（3）如图②，若tan∠ADH＝，是否存在点H，使得△BHF为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）8﹣；（3）存在，详见解析．

【解析】

（1）根据SAS证明三角形全等即可．

（2）想办法证明∠ADH=30°，求出AH即可解决问题．

（3）如图②中，可以假设AH=4k，AD=3k，DH=5k，因为△BHF是等腰三角形，∠BHF是钝角，推出HF=BH，设BH=HF=x，构建方程组解决问题即可．

（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠FAB＝∠FAD＝45°，

∵AF＝AF，

∴△ADF≌△ABF（SAS）．

（2）解：如图①中，

∵∠BHF＞∠HAD，

∴∠BHF是钝角，

∵△BHF是等腰三角形，

∴BH＝FH，

∴∠HBF＝∠BFH，

∵△ADF≌△ABF，

∴∠ADF＝∠ABF，

∵∠AHD＝∠HBF+∠BFH，

∴∠AHD＝2∠ADH，

∵∠AHD+∠ADH＝90°，

∴∠ADH＝30°，

∴AH＝ADtan30°＝，

∴BH＝HF＝8﹣．

（3）解：如图②中，存在．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝8，AB∥CD，∠DAH＝90°，

∵tan∠ADH＝＝，

∴可以假设AH＝4k，AD＝3k，则DH＝5k，

∵△BHF是等腰三角形，∠BHF是钝角，

∴HF＝BH，设BH＝HF＝x，

∵AH∥CD，

∴＝，

∴＝①，

∵AH+BH＝8，

∴4k+x＝8 ②，

由①②可得，x＝或（舍弃），

∴存在，该三角形的腰长为．