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如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.

①求证:BD⊥CF;

②当AB=4,AD=时,求线段FG的长.

 

【答案】

(1) BD=CF成立,证明见解析;(2)①证明见解析;②FG=.

【解析】

试题分析:(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等,直观上判  断BD=CF,而由题目条件,旋转过程中出

 

现了两个三角形△BAD和△CAF,并且包含了要证明相等的两条线段BD和CF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,只差夹角相等,在Rt△BAC中,∠BAD+∠DAC=90°,∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.(2)①要证明BD⊥CF,只要证明∠BGC=90°,即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中,∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有(1)知,∠ACF=∠ABG,所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

∠ABG +∠ACB =90°,所以BD⊥CF.②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理,题目中没有和FG直接相关的线段,而CG从已知条件中又无法求出,所以需要作辅助线,连接FD,交AC于点N, 在正方形ADEF中,AD=DE=, AN=1, CN=3, 由勾股定理CF=,设FG=x,CG=,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD=,∵在Rt△BCG中,

,解之得FG=.

试题解析:②解法一:

如图,连接FD,交AC于点N,

∵在正方形ADEF中,AD=DE=,

∴AN=FN=AE=1,FD=2,

∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,∴CN=AC-AN=3,

∴在Rt△FCN中,,

∵△BAD≌△CAF(已证),∴BD=CF=,

设FG=,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD=,

∵CF=,∴CG=,

∵在等腰直角△ABC 中,AB=AC=4,

,

∵在Rt△BCG中,,

 , 

整理,得,

解之,得(不合题意,故舍去)

∴FG=.

解法二:

如图,连接FD,交AC于点N;连接CD,

同解法一,可得:DG=,CG=

易证△ACD≌△ABD(SAS),可得CD=BD=,    

在Rt△CGD中,,即

解之,得,故FG= .

考点:1.三角形的全等;2.勾股定理;3.正方形的性质.

 

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科目:初中数学 来源: 题型:

24、(1)如图1,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,CF平分∠ACG,E是CF上一点,若∠ADE=60°求证:DA=DE
(2)如图2,四边形ABCD是正方形,M为AB上的一点,BF平分∠CBG,E是BF上一点,若DM⊥ME,与(1)中类似的结论是什么?(不必证明)
(3)在(2)若将DM⊥ME换为MD=ME,能不能证明DM⊥ME?说明理由.

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23、已知△ABC,分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.
(1)如图,当△ABC是等边三角形时,请你写出满足图中条件,四个成立的结论;
(2)如图,当△ABC中只有∠ACB=60°时,请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•鞍山一模)尺规作图(保留作图痕迹)
(1)如图1,△ABC是等边三角形,过点A作出BC边上的高;
(2)如图2,△ABC为任意三角形,过点B作BD⊥AC于点D;
(3)如图3,现在有一块直角三角形钢板,∠ABC=90°,AC=10,AB=6,工人师傅想用它裁出面积最大的△ABP,且∠APB=60°,请在图中画出符合要求的点P(尺规作图,保留作图痕迹)并求出的面积.

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科目:初中数学 来源: 题型:

下列说法:
①如图1,△ABC中,AB=AC,∠A=45°,则△ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形.
②如图2,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有6个.
③如图3,△ABC是等边三角形,CD⊥AD,且AD∥BC,则AD=
1
2
AB.
④如图4,△ABC中,点E是AC上一点,且AE=AB,连接BE并延长至点D,使AD=AC,∠DAC=∠CAB,则∠DBC=
1
2
∠DAB其中,正确的有
③④
③④
(请写序号,错选少选均不得分)

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24.数学课上,张老师出示了问题:如图1,△ABC是等边三角形,点D是边BC的中点.∠ADE=60°,且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E,求证:AD=DE.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接MD,则△BMD是等边三角形,易证△AMD≌△DCE,所以AD=DE.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点D是边BC的中点”改为“点D是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AD=DE”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小亮提出:如图3,点D是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AD=DE”仍然成立.你认为小华的观点
正确
正确
(填“正确”或“不正确”).

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