Question

4．已知：如图，点A（3，4）在直线y=kx上，过A作AB⊥x轴于点B．

（1）求k的值；
（2）设点B关于直线y=kx的对称点为C点，求△ABC外接圆的面积；
（3）抛物线y=$\frac{1}{9}$x²-1与x轴的交点为Q，试问在直线y=kx上是否存在点P，使得∠CPQ=∠OAB？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入直线y=kx，即可求出k的值；
（2）由轴对称得出OA是CB的中垂线，作AB的中垂线y=2与OA交于点E，得出E为△ABC的外接圆圆心，OA为该圆的直径，由勾股定理求出OA，即可得出△ABC的外接圆的面积；
（3）先求出Q的坐标；①当Q 为（3，0）时，Q与B重合；以A为圆心，AB为半径作圆交OA于一点，即为P点，∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠OAB；此时AP=AB=4，作PH⊥x轴于H，则AB∥PH，△OAB∽△OPH，得出比例式$\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OH}=\frac{AB}{PH}$，求出OH、PH，即可得出P的坐标；由轴对称的性质可得另一点P′的坐标；
②当Q 为（-3，0）时，以O为圆心，OB为半径作圆交OA于两点，即为P点；作PH⊥OB于H，则PH∥AB，△OPH∽△OAB，得出比例式$\frac{OP}{OA}=\frac{OH}{OB}=\frac{PH}{AB}$，求出OH、PH即可得出P的坐标；由中心对称可得另一点P的坐标．

解答 解：（1）∵点A（3，4）在直线y=kx上，
∴3k=4，
∴k=$\frac{4}{3}$；
（2）如图1，∵点C、B关于直线OA对称，
∴OA是CB的中垂线，
作AB的中垂线y=2与OA交于点E，
∴E为△ABC的外接圆圆心，
∵F为AB的中点，EF∥OB，
∴E为OA的中点，OA为该圆的直径，
∵OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴△ABC的外接圆的面积=${π（\frac{OA}{2}）}^{2}$=${\frac{π}{4}OA}^{2}$=$\frac{π}{4}$×5²=$\frac{25π}{4}$；

（3）存在，点P的坐标为：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$），或$（-\frac{81}{25}，-\frac{108}{25}）$，或（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），或（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；理由如下：
由y=$\frac{1}{9}$x²-1，当y=0时，$\frac{1}{9}$x²-1=0，
解得：x₁=3，x₂=-3，
∴Q点的坐标为（3，0）或（-3，0）
①当Q 为（3，0）时，Q与B重合；
以A为圆心，AB为半径作圆交OA于一点，即为P点，如图2所示：
∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠OAB；
此时AP=AB=4，作PH⊥x轴于H，
则AB∥PH，
∴△OAB∽△OPH，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OH}=\frac{AB}{PH}$，
即$\frac{5}{9}=\frac{3}{OH}=\frac{4}{PH}$，
∴OH=$\frac{27}{5}$，PH=$\frac{36}{5}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$）；
由轴对称的性质可得另一点P′的坐标为：（-$\frac{81}{25}$，-$\frac{108}{25}$）；
②当Q 为（-3，0）时，如图3所示：
设BC与OA交于M点，
∴CM=MB，QO=OB，
∴CQ∥OA，
∴∠QCB=∠OMB=90°，
以O为圆心，OB为半径作圆交OA于两点，即为P点，
点C在⊙O上，∠CPQ=∠CBQ，
∵∠CBQ+∠POB=∠OAB+∠POB=90°，
∴∠CBQ=∠OAB，
∴∠CPQ=∠OAB满足条件，
∴OP=OB=3，
作PH⊥OB于H，则PH∥AB，
∴△OPH∽△OAB，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OH}{OB}=\frac{PH}{AB}$，
即$\frac{3}{5}=\frac{OH}{3}=\frac{PH}{4}$，
∴OH=$\frac{9}{5}$，PH=$\frac{12}{5}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
由中心对称可得另一点P的坐标为：（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；
综上所述：点P的坐标为：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$）或$（-\frac{81}{25}，-\frac{108}{25}）$或（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）或（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、中心对称的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助圆和三角形相似才能得出结果．