【题目】如图,扇形OMN的半径为1,圆心角为90°,点B是上一动点,BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.
(1)当点B移动到使AB:OA=:3时,求的长;
(2)当点B移动到使四边形EPGQ为矩形时,求AM的长.
(3)连接PQ,试说明3PQ2+OA2是定值.
【答案】(1)证明见解析(2)当AM的长为(1﹣)时,四边形EPGQ是矩形(3)定值
【解析】
(1)先利用三角函数求出∠AOB=30°,再用弧长公式即可得出结论;
(2)易得△AED∽△BCE,根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理,即可求得OA的长,即可得出结论;
(3)连接GE交PQ于O′,易得O′P=O′Q,O′G=O'E,然后过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′,由△PCF∽△PEG,根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理,即可求得3PQ2+OA2的值.
解:(1)证明:连接OB,如图①,
∵四边形OABC是矩形,
∴∠AOC=∠OAB=90°,
在Rt△AOB中,tan∠AOB==,
∴∠AOB=30°,
∴==;
(2)如图②,∵EPGQ是矩形.
∴∠CED=90°
∴∠AED+∠CEB=90°.
又∵∠DAE=∠EBC=90°,
∴∠AED=∠BCE.
∴△AED∽△BCE,
∴.
设OA=x,AB=y,则=,
得y2=2x2,
又 OA2+AB2=OB2,
即x2+y2=12.
∴x2+2x2=1,
解得:x=.
∴AM=OM﹣OA=1﹣
当AM的长为(1﹣)时,四边形EPGQ是矩形;
(3)如图③,连接GE交PQ于O′,
∵四边形EPGQ是平行四边形,
∴O′P=O′Q,O′G=O′E.
过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′.
由△PCF∽△PEG得, =2,
∴PA′=A′B′=AB,GA′=GE=OA,
∴A′O′=GE﹣GA′=OA.
在Rt△PA′O′中,PO′2=PA′2+A′O′2,
即=+,
又 AB2+OA2=1,
∴3PQ2=AB2+,
∴OA2+3PQ2=OA2+(AB2+)=是定值.
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【题目】定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点P绕点T(0,t)(t>0)旋转180°得到点Q,那么称线段QP为“拓展带”,点Q为点P的“拓展点”.
(1)当t=3时,点(0,0)的“拓展点”坐标为 ,点(﹣1,1)的“拓展点”坐标为 ;
(2)如果 t>1,当点M(2,1)的“拓展点”N在函数y=﹣的图象上时,求t的值;
(3)当t=1时,点Q为点P(2,0)的“拓展点”,如果抛物线 y=(x﹣m)2﹣1与“拓展带”PQ有交点,求m的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.
(1)求证:AE=CF;
(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.
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【题目】如图,在直角坐标系中,边长为1的正△ABC(C与O重合)的边BC在x轴上,顶点A在第一象限,现在进行以下操作:
(1)将△ABC沿x轴向右平移一个单位长度,此时A变为A1;
(2)将三角形沿x轴翻折,此时A1变为A2;
(3)将三角形绕点O旋转180°,此时A2变为A3;
(4)将三角形沿y轴翻折,此时A3变为A4;
(5)将三角形绕点O旋转180°,此时A4变为A5;
按照此规律,重复以上五步,则A2018的坐标为( )
A. (,﹣) B. (﹣,) C. (,) D. (﹣,﹣)
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【题目】如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
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【题目】如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形,两块试验田的小麦都收获了.
(1)哪种小麦的单位面积产量高?
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
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【题目】“六一”期间,小张购进100只两种型号的文具进行销售,其进价和售价之间的关系如下表:
(1)小张如何进货,使进货款恰好为1300元?
(2)要使销售文具所获利润最大,且所获利润不超过进货价格的40%,请你帮小张设计一个进货方案,并求出其所获利润的最大值.
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【题目】如图,在中,点D、E、F分别在边、、上,且,.下列四种说法:
①四边形是平行四边形;②如果,那么四边形是矩形;
③如果平分,那么四边形是菱形;
④如果且,那么四边形是菱形.
其中,正确的有 .(只填写序号)
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