Question

如图，已知P为锐角△ABC内一点，过P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F，BM为∠ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N．如果PD=PE+PF，求证：CN是∠ACB的平分线．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,角平分线的性质,平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：如图，作MM₁⊥BC于点M₁，MM₂⊥AB于点M₂，NN₁⊥BC于点N₁，NN₂⊥AC于点N₂．设NP=λNM，利用平行线分线段成比例证明N₁D=λN₁M₁．作NH⊥MM₁，分别交MM₁，PD于点H，H₁，可得△NPH₁∽△NMH，利用相似三角形的性质可得：λMM₁+（1-λ）NN₁．同理可证明PD=λMM₁+（1-λ）NN₁．再由已知条件即可证明CN是∠ACB的平分线．

解答：证明：如图，作MM₁⊥BC于点M₁，MM₂⊥AB于点M₂，NN₁⊥BC于点N₁，NN₂⊥AC于点N₂．
设NP=λNM，
∵NN₁∥PD∥MM₁，
∴N₁D=λN₁M₁．
若NN₁＜MM₁，如图，作NH⊥MM₁，分别交MM₁，PD于点H，H₁，
则△NPH₁∽△NMH，
∴

PH1

MH

=

NP

NM

=λ，
∴PH₁=λMH，
∴PD=PH₁+H₁H=λMH+NN₁=λ（MM₁-NN₁）+NN₁=λMM₁+（1-λ）NN₁．
若NN₁=MM₁，则PD=NN₁=MM₁=λMM₁+（1-λ）NN₁．
若NN₁＞MM₁，
同理可证PD=λMM₁+（1-λ）NN₁．
∵PE∥NN₂，∴

PE

NN2

=

PM

NM

=1-λ，
∴PE=（1-λ）NN₂．
∵PF∥MM₂，
∴

PF

MM2

=

NP

NM

=λ，
∴PF=λMM₂．
又∵PD=PE+PF，
∴λMM₁+（1-λ）NN₁=λMM₂+（1-λ）NN₂．
又∵BM是∠ABC的平分线，
∴MM₁=MM₂，
∴（1-λ）NN₁=（1-λ）NN₂．
显然λ≠1，即1-λ≠0，
∴NN₁=NN₂，
∴CN是∠ACB的平分线．

点评：本题综合性的考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定和相似三角形的性质以及角平分线的判定方法，题目的难度很大，对学生的解题能力要求很高．