Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴于点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax²-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
（1）求点C、D的纵坐标．
（2）求a、c的值．
（3）若Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
（4）若Q为线段OB或线段AB上一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．[参考公式：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）]．

Answer 1

（1）∵点C在直线AB：y=-2x+42上，且C点的横坐标为16，
∴y=-2×16+42=10，即点C的纵坐标为10；
∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为4；

（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），
∵抛物线y=ax²-2x+c经过C、D两点，
∴

256a-32+c=10 16a-8+c=4

，
解得：a=

1

8

，c=10，
∴抛物线的解析式为y=

1

8

x²-2x+10；

（3）∵Q为线段OB上一点，纵坐标为5，
∴Q点的横坐标也为5，
∵点P在抛物线上，纵坐标为5，
∴

1

8

x²-2x+10=5，
解得x₁=8+2

6

，x₂=8-2

6

，
当点P的坐标为（8+2

6

，5），点Q的坐标为（5，5），线段PQ的长为2

6

+3，
当点P的坐标为（8-2

6

，5），点Q的坐标为（5，5），线段PQ的长为2

6

-3．
所以线段PQ的长为2

6

+3或2

6

-3．

（4）根据题干条件：PQ⊥x轴，可知P、Q两点的横坐标相同，
抛物线y=

1

8

x²-2x+10=

1

8

（x-8）²+2的顶点坐标为（8，2），
联立

y=x y=-2x+42

，解得点B的坐标为（14，14），
①当点Q为线段OB上时，如图所示，当0≤m＜4时，d随m的增大而减小，
在BD段，d=x-（

1

8

x²-2x+10），
即d=-

1

8

x²+3x-10，对称轴是x=12，
当x≥12时，d随x的增大而减小．
故当12≤m≤14时，d随m的增大而减小．
则当0≤m＜4或12≤m≤14时，d随m的增大而减小；
②当点Q为线段AB上时，如图所示，当14≤m＜16时，d随m的增大而减小，
综上所述，当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小．