Question

5．直角三角形有如下性质：在直角三角形中，若有一个内角是30°，那么这个角所对的直角边的长是斜边长的一半，如：在图1中，若已知∠B=90°，∠A=30°，且BC=1cm，则可以得到AC=2cm．
请利用以上性质解答下面的问题：
如图2，已知直角△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D，DE∥BC交AC于E，EF∥CD交AB于F．
（1）若BD=2cm，那么AB=8cm；
（2）若AF比DF多2cm，那么AB=$\frac{16}{3}$cm

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠B=60°，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠AED=90°，∠AFE=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到DF=12DE，AF=32DE，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4，
∴AB=2BC=8cm；
故答案为：8；
（2）∵DE∥BC，
∴∠AED=90°，
∵AD=2DE，
∵EF∥CD，
∴∠AFE=∠ADC=90°，
∴∠DEF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE，
∴AF=$\frac{3}{2}$DE，
∵AF比DF多2cm，
∴DE=2cm，
∴AD=4cm，
∵AB=2BC，BC²=AB•BD，
∴（$\frac{1}{2}$AB）²=AB•（AB-4），
∴AB=$\frac{16}{3}$cm，
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．