在平面直角坐标系中.点A的坐标是(0.6)．动点P在x轴上.以P为圆心.PA长为半径作⊙P.与x轴正半轴交于点E.与y轴另一交点为B.作∠CBA=α.交⊙P于点C.C在y轴左侧.作CD⊥y轴.垂足为D.连结AC．.α=30°时.求AC的长．(2)当tanα=$\frac{2}{3}$.且△CDA是两直角边之比为1:2的直角三角形时.求点P的坐标．(3)若点C在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6）．动点P在x轴上，以P为圆心，PA长为半径作⊙P，与x轴正半轴交于点E，与y轴另一交点为B，作∠CBA=α，交⊙P于点C，C在y轴左侧，作CD⊥y轴，垂足为D，连结AC．
（1）如图1，当P（1，0），α=30°时，求AC的长．
（2）当tanα=$\frac{2}{3}$，且△CDA是两直角边之比为1：2的直角三角形时，求点P的坐标．
（3）若点C在第三象限（如图2），连结PC，PD，当α=45°时．设⊙P的半径为x，△CDP的面积为y，求y关于x的函数关系式．

分析（1）如图1中，连接PC．只要证明△APC是等边三角形即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①如图2中，当CD=2AD时，延长CD交⊙P于F，作PH⊥CD于H．②如图3中，当AD=2CD时，延长CD交⊙P于F，作PH⊥CD于H．分别求解即可．
（3）如图4中，连接PC、PD，作PH⊥CD交CD的延长线于H．由△AOP≌△CHP，推出OP=PH，OA=CH=3，易证四边形OPHD是正方形，PO=PH=OD=DH=$\sqrt{{x}^{2}-9}$，根据S_△PCD=$\frac{1}{2}$•CD•PH计算即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，连接PC．

∵∠APC=2∠ABC，∠ABC=30°，
∴∠APC=60°，
∵PA=PC，
∴△APC是等边三角形，
在Rt△APO中，PA=$\sqrt{O{A}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
∴AC=AP=$\sqrt{37}$．

（2）①如图2中，当CD=2AD时，延长CD交⊙P于F，作PH⊥CD于H．

设AD=a，则CD=2a，BD=3a，AB=4a，
∴4a=12，
∴a=3，
∴CD=6，AD=3，DB=9，
∵AD•DB=CD•DF，
∴DF=$\frac{AD•DB}{CD}$=$\frac{9}{2}$，
∴CF=CD+DF=$\frac{21}{2}$，
∵PH⊥CF，
∴CH=HF=$\frac{21}{4}$，
∴DH=CD-CH=6-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴P（-$\frac{3}{4}$，0）．

②如图3中，当AD=2CD时，延长CD交⊙P于F，作PH⊥CD于H．

设AD=4a，则CD=2a，BD=3a，AB=7a，
∴7a=12，
∴a=$\frac{12}{7}$，
∴CD=$\frac{24}{7}$，AD=$\frac{48}{7}$，DB=$\frac{36}{7}$，
∵AD•DB=CD•DF，
∴DF=$\frac{AD•DB}{CD}$=$\frac{72}{7}$，
∴CF=CD+DF=$\frac{96}{7}$，
∵PH⊥CF，
∴CH=HF=$\frac{48}{7}$，
∴DH=CH-CD=$\frac{48}{7}$-6=$\frac{6}{7}$，
∴点P坐标为（$\frac{6}{7}$，0）．
综上所述，点P的坐标为P（-$\frac{3}{4}$，0）或（$\frac{6}{7}$，0）．

（3）如图4中，连接PC、PD，作PH⊥CD交CD的延长线于H．

∵∠CBD=45°，
∴∠APC=2∠ABC=90°，
∴∠APC=∠OPH，
∴∠APO=∠CPH，∵PA=PC，∠AOP=∠PHC，
∴△AOP≌△CHP，
∴OP=PH，OA=CH=3，易证四边形OPHD是正方形，
∴PO=PH=OD=DH=$\sqrt{{x}^{2}-9}$，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$•CD•PH=$\frac{1}{2}$•（3-$\sqrt{{x}^{2}-9}$）•$\sqrt{{x}^{2}-9}$=$\frac{3}{2}$•$\sqrt{{x}^{2}-9}$-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$•$\sqrt{{x}^{2}-9}$+$\frac{9}{2}$．（6＜x＜6$\sqrt{2}$）．
（自变量的取值范围的确定，主要考虑⊙P与直线y=-x-6在第三象限有交点即可）

点评本题考查圆综合题、等边三角形的判定和性质、垂径定理、相交弦定理．全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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