Question

3．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形AB-CD的边AB上的“强相似点”，解决问题：
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由：
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的
一个强相似点，试证明$\frac{AB}{BC}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一对三角形相似就行，根据两角对应相等，容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解；
（2）以CD为直径画弧，该弧与AB的交点即为所求；
（3）由点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得AB与BC边之间的数量关系．

解答 解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°
∴∠ADE=∠CEB，
在△ADE和△BEC中，
∠A=∠B，∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；

（2）如图所示，点E₁和E₂是四边形ABCD的边AB上的强相似点，
理由：∵AD=2，AE₁=1，BE₁=4，BC=2，DE₁=$\sqrt{5}$，CE₁=$2\sqrt{5}$，CD=5，
∴AE₁：AD：DE₁=1：2：$\sqrt{5}$，
BC：BE₁：CE₁=1：2：$\sqrt{5}$，
DE₁：CE₁：CD=1：2：$\sqrt{5}$，
∴△DAE₁∽△E₁BC∽△CE₁D，
∴点E₁是四边形ABCD的边AB上的强相似点，
同理可得，点E₂是四边形ABCD的边AB上的强相似点；

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM=∠BCE，CE=CD=AB，
∴∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∴在Rt△BCE中，cos∠BCE=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{AB}{BC}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质以及折叠的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．