Question

14．已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD（点C，F在直线AB的两侧），连接DC，DF，CF．
①依题意补全图1；
②判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD=45°．求证：BD=CE．

Answer 1

分析 （1）①根据条件画出图形即可．
②结论：△CDF是等腰直角三角形．只要证明△FAD≌△DBC即可解决问题．
（2）如图2中，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF． 先证明AF=BD，再证明四边形AFCE是平行四边形即可解决问题．

解答 解：（1）①补全图形，如图1所示，

②结论：△CDF是等腰直角三角形．
理由：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠CBD}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△FAD≌△DBC，
∴FD=DC．∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形．

（2）如图2中，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF． 

∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠CBD}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△FAD≌△DBC，
∴FD=DC，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠FCD=∠APD=45°，
∴FC∥AE，
∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE，
∴BD=CE．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明，学会添加常用辅助线，构造全等三角形以及特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．≌