Question

1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-4x-5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B，点C的坐标；
（2）P是抛物线对称轴上一点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设E（x，y）是抛物线对称轴右侧一动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形，求?OEBF的面积S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围：当?OEBF的面积为$\frac{175}{4}$时，判断并说明?OEBF是否为菱形？

Answer 1

分析 （1）令y=0求出x值，结合点A在点B的左侧即可得出点A、B的坐标，再令x=0求出y值，即可得出点C的坐标；
（2）利用配方法找出抛物线的对称轴，设点P的坐标为（2，m），结合点A、C的坐标利用两点间的距离公式即可找出线段AC、AP、CP的长度，再根据勾股定理即可找出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，由此即可得出点P的坐标；
（3）根据平行四边形的面积公式结合点O、B、E点的坐标即可得出S关于x的函数关系式，代入S=$\frac{175}{4}$求出x的值，根据点O、B的坐标即可得出点E在线段OB的垂直平分线上，此时?OEBF是菱形．

解答 解：（1）当y=0时，有x²-4x-5=0，
解得：x₁=-1，x₂=5，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（5，0）．
当x=0时，y=-5，
∴C（0，-5）．
（2）∵y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴抛物线的对称轴为x=2．
设点P的坐标为（2，m），
∵A（-1，0），C（0，-5），
∴AC=$\sqrt{[0-（-1）]^{2}+（-5-0）^{2}}$=$\sqrt{26}$，AP=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（0-m）^{2}}$，CP=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-5-m）^{2}}$．
∵AP⊥CP，
∴AC²=AP²+CP²，即m²+5m+6=0，
解得：m₁=-3，m₂=-2．
∴点P的坐标为（2，-3）或（2，-2）．
（3）依照题意画出图形，如图所示．
∵E（x，y）是抛物线对称轴右侧一动点，且位于第四象限，
∴E（x，x²-4x-5）（2＜x＜5），
∴S=OB•|y_E|=-5x²+20x+25（2＜x＜5）．
当S=$\frac{175}{4}$时，有-5x²+20x+25=$\frac{175}{4}$，
解得：x₁=$\frac{3}{2}$（舍去），x₂=$\frac{5}{2}$．
∵O（0，0），B（5，0），
∴当x=$\frac{5}{2}$时，点E在线段OB的垂直平分线上，
∴OE=BE，
∴此时?OEBF为菱形．
∴当?OEBF的面积为$\frac{175}{4}$时，?OEBF为菱形．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、勾股定理以及平行四边形的面积，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）根据勾股定理得出关于m的方程；（3）根据平行四边形的面积找出S关于x的函数关系式．