Question

已知一个矩形纸片OABC，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图，点A（5，0），从（0，

5

2

），把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点O落在点D，AD、BC相交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求直线AC的函数解析式及点D的坐标；
（3）求经过点C、D、B抛物线的解析式；
（4）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点F，点P是抛物线上的任意一点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点Q在抛物线上是否存在点P，使以点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质,矩形的性质

专题：压轴题

分析：（1）由题可得BC=5，AB=

5

2

，易证EC=EA，设EC=x，则EA=x，EB=5-x，在Rt△ABE中运用勾股定理就可求出CE的长；
（2）只需运用待定系数法就可求出直线AC的解析式，在Rt△CDE中运用面积法可求出DG，再运用勾股定理可求出CG，就可得到点D的坐标；
（3）只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（4）根据点D的坐标可求出DF的长，设点P的横坐标为p，则点P、Q的纵坐标就可用p的代数式表示，易证DF∥PQ，所以DF与PQ是平行四边形的对边，则有PQ=DF，然后分点P在点Q的上方和下方两种情况讨论，利用PQ=DF建立关于p的方程，然后解方程，就可解决问题．

解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，A（5，0），C（0，

5

2

），
∴∠ABC=90°，AB=OC=

5

2

，BC=OA=5，BC∥OA，
∴∠BCA=∠OAC．
由折叠可得：DC=OC=

5

2

，AD=OA=5，∠CDA=∠COA=90°，∠OAC=∠DAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴EC=EA．
设EC=x，则EA=x，EB=BC-EC=5-x．
在Rt△ABE中，
（5-x）²+（

5

2

）²=x²，
解得：x=

25

8

．
则CE的长为

25

8

；

（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有

5m+n=0 n= 5 2

，
解得：

m=- 1 2 n= 5 2

，
∴直线AC的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

；
在Rt△CDE中，
∵DC=

5

2

，CE=

25

8

，DE=DA-AE=5-

25

8

=

15

8

，
∴DG=

DC•DE

CE

=

5 2 × 15 8

25 8

=

3

2

，
∴CG=

DC2-DG2

=

( 5 2 )2-( 3 2 )2

=2，
∴点D的坐标为（2，

3

2

+

5

2

）即（2，4）．
设经过点C、D、B抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵C（0，

5

2

）、D（2，4）、B（5，

5

2

），
∴

c= 5 2 4a+2b+c=4 25a+5b+c= 5 2

，
解得：

a=- 1 4 b= 5 4 c= 5 2

，
∴经过点C、D、B抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+

5

4

x+

5

2

；

（3）∵DF⊥x轴，∴x_F=x_D=2，
∵点F在直线AC上，∴y_F=-

1

2

×2+

5

2

=

3

2

，
∴DF=y_D-y_F=4-

3

2

=

5

2

．
设点P的横坐标为p，
∵PQ⊥x轴，∴x_P=x_Q=p，
∵点P在抛物线y=-

1

4

x²+

5

4

x+

5

2

上，点Q在直线y=-

1

2

x+

5

2

上，
∴y_P=-

1

4

p²+

5

4

p+

5

2

，y_Q=-

1

2

p+

5

2

．
若点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵DF⊥x轴，PQ⊥x轴，
∴DF∥PQ，
∴DF与PQ是平行四边形的对边，
∴PQ=DF=

5

2

．
①若点P在点Q的上方，
则有PQ=（-

1

4

p²+

5

4

p+

5

2

）-（-

1

2

p+

5

2

）=-

1

4

p²+

7

4

p=

5

2

，
解得：p₁=2，p₂=5，
当p=2时，y_P=-

1

4

×2²+

5

4

×2+

5

2

=4，
此时点P与点D重合，故舍去，
当p=5时，y_P=-

1

4

×5²+

5

4

×5+

5

2

=

5

2

，
∴点P的坐标为（5，

5

2

）；
②若点P在点Q的下方，
则有PQ=（-

1

2

p+

5

2

）-（-

1

4

p²+

5

4

p+

5

2

）=

1

4

p²-

7

4

p=

5

2

，
解得：p₃=

7+ 89

2

，p₄=

7- 89

2

，
当p=

7+ 89

2

时，y_P=-

1

4

×（

7+ 89

2

）²+

5

4

×（

7+ 89

2

）+

5

2

=-

7+ 89

4

，
当p=

7- 89

2

时，y_P=-

1

4

×（

7- 89

2

）²+

5

4

×（

7- 89

2

）+

5

2

=

-7+ 89

4

，
∴点P的坐标为（

7+ 89

2

，-

7+ 89

4

）或（

7- 89

2

，

-7+ 89

4

）．
综上所述：当点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（5，

5

2

）或（

7+ 89

2

，-

7+ 89

4

）或（

7- 89

2

，

-7+ 89

4

）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求直线及抛物线的解析式、矩形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、解方程、勾股定理等知识，综合性比较强，运用分类讨论并利用PQ=DF建立方程是解决第（4）小题的关键．