Question

19．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，sin∠PAB=$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{7}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．

解答 解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠ABP=60°，
∴∠BAP=30°，
∴sin∠PAB=$\frac{1}{2}$；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP=$\frac{OB}{tan30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3$\sqrt{3}$，
在直角三角形ABP中，
AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∴sin∠PAB=$\frac{PB}{AP}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$；
情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴∠PAB=60°，
∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{7}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，三角函数的定义，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．