Question

如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y=x对称，反比例函数y=

k

x

（x＞0）图象经过点A，点P是直线y=x上一动点．
（1）B点的坐标为

 

；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE+QF+QB的值最小时，求出Q点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：动点型,分类讨论

分析：（1）根据点（a，b）关于y=x对称的点的坐标为（b，a）直接写出答案即可；
（2）首先求得反比例函数的解析式，然后设P（m，m），分若PC为平行四边形的边和若PC为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点C的坐标；
（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，利用四边形AOBP是菱形，得到S_△AOP=S_△AOQ+S_△APQ，从而得到

1

2

PO•AD=

1

2

AO•QE+

1

2

AP•QF，确定QE+QF=

PO•AD

AO

为定值，从而求解．

解答：解：（1）B点的坐标为（3，1）；

（2）∵反比例函数y=

k

x

（x＞0）图象经过点A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

，
∵点P在直线y=x上，
∴设P（m，m）
①若PC为平行四边形的边，
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，
∴点C在点P的下方，则点C的坐标为（m+2，m-2）如图1，
若点C在点P的上方，则点C的坐标为（m-2，m+2）如图2，
把C（m+2，m-2）代入反比例函数的解析式得：m=±

7

，
∵m＞0，
∴m=

7

，＞
∴C₁（

7

+2，

7

-2），
同理可得另一点C₂（

7

-2，

7

+2）；
②若PC为平行四边形的对角线，如图3，
∵A、B关于y=x对称，
∴OP⊥AB
此时点C在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线y=

3

x

的交点，
由

y=x y= 3 x

解得

x1= 3 y1= 3

，

x2=- 3 y2=- 3

（舍去）
∴C₃（

3

，

3

）
综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：C₁（

7

+2，

7

-2），C₂（

7

-2，

7

+2），C₃（

3

，

3

）；

（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，如图4，
∵四边形AOBP是菱形，
∴AO=AP
∵S_△AOP=S_△AOQ+S_△APQ，
∴

1

2

PO•AD=

1

2

AO•QE+

1

2

AP•QF
∴QE+QF=

PO•AD

AO

为定值，
∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值当QB⊥PO时，QB最小，
所以D点即为所求的点，
∵A（1，3），B（3，1）
∴D（2，2），
∴当QE+QF+QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）．

点评：本题考查了反比例函数的综合知识，本题中涉及了分类讨论的数学思想，难度较大，这也是中考的热点题型之一．