Question

8．若等腰梯形的腰长为6cm，底角的正切为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，下底长12$\sqrt{2}$cm，则它的面积为16$\sqrt{2}$cm²．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，BE=CF，设AE=$\sqrt{2}$x，则BE=4x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程求出AE=2，BE=CF=4$\sqrt{2}$，得出AD=EF=4$\sqrt{2}$，由梯形面积公式即可得出结果．

解答 解：如图所示：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
则四边形AEFD是矩形，BE=CF，
∵tanB=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴设AE=$\sqrt{2}$x，则BE=4x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：（4x）²+（$\sqrt{2}$x）²=6²，
解得：x=$\sqrt{2}$，
∴AE=2，BE=CF=4$\sqrt{2}$，
∴AD=EF=BC-BE-CF=12$\sqrt{2}$-2×4$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
∴等腰梯形的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AE=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{2}$+12$\sqrt{2}$）×2=16$\sqrt{2}$（cm²）；
故答案为：16$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰梯形的性质、三角函数、矩形的性质、勾股定理、梯形面积公式；熟练掌握等腰梯形的性质，