Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D是劣弧

BC

的中点，DF⊥AB于F，交BC于E．
（1）求证：BE=DE；
（2）若AC=2，AB=6，求BD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：

分析：（1）延长DF⊙O于M，连接CD，根据垂径定理求出弧BD=弧BM，推出弧CD=弧BM，根据圆周角定理得出∠FDB=∠DBE，即可得出答案；
（2）易得OD⊥BC，进而得到ON为△ABC中位线，根据勾股定理可得到DB的长度．

解答：（1）证明：延长DF⊙O于M，连接CD，
∵AB⊥DF，
∴由垂径定理得：弧BD=弧BM，
∵D为弧BC的中点，
∴弧CD=弧BD，
∴弧CD=弧BM，
∴∠EDB=∠DBE，
∴DE=BE；

（2）连接OD交BC于点N
∵D是劣弧

BC

的中点，
∴OD⊥BC，
∴AC∥OD，
∴ON为△ABC中位线
∴ON=1，
根据勾股定理，NB²=OB²-ON²
∴NB=2

2

，
∵ND=OD-ON=2，
∴DB²=ND²+NB²=4+8=12
∴DB=2

3

．

点评：本题考查了垂径定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．