Question

【题目】正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF＝BE，AE与BF交于G点．

（1）如图1，求证：①AE＝BF，②AE⊥BF．

（2）连接CG并延长交AB于点H，

①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；

②若点E在BC的边上滑动（不与B、C重合），当CG取得最小值时，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）①见解析;②见解析;（2）①BH＝；②2﹣2．

【解析】

（1）①由正方形的性质得出AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，由SAS证明△ABE≌△BCF，即可得出结论；

②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE＝∠CBF，证出∠AGB＝90°，即可得出结论；

（2）①由直角三角形的性质得出CF＝BE＝BC＝2，由勾股定理得出BF＝2，由（1）得：AE⊥BF，则∠BGE＝∠ABE＝90°，证明△BEG∽△AEB，得出 ＝，设GE＝x，则BG＝2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG＝2× ，由平行线得出 ，即可得出BH的长；

②由（1）得：∠AGB＝90°，得出点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，求出GM＝AB＝BM＝2，由平行线得出 ＝1，证出CF＝CG＝BE，设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，

在△ABE和△BCF中， ，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF；

②由①得：△ABE≌△BCF，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠CBF+∠ABF＝90°，

∴∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠AGB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：①如图2所示：

∵E为BC的中点，

∴CF＝BE＝BC＝2，

∴BF ，

由（1）得：AE⊥BF，

∴∠BGE＝∠ABE＝90°，

∵∠BEG＝∠AEB，

∴△BEG∽△AEB，

∴ ，

设GE＝x，则BG＝2x，

在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝22，

解得：x＝ ，

∴BG＝2× ，

∵AB∥CD，

∴ ，即 ，

解得：BH＝；

②由（1）得：∠AGB＝90°，

∴点G在以AB为直径的圆上，

设AB的中点为M，

由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：

∵AE⊥BF，

∴∠AGB＝90°，

∴GM＝AB＝BM＝2，

∵AB∥CD，

∴ ＝1，

∴CF＝CG，

∵CF＝BE，

∴CF＝CG＝BE，

设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a+2，

在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42＝（a+2）2，

解得：a＝2﹣2，即

当CG取得最小值时，BE的长为2﹣2．