Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C₁：y₁=-x²+2x．
（1）将抛物线C₁先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C₂，求抛物线C₂的顶点P的坐标及它的解析式．
（2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C₁、C₂上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意抛物线：y₁=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴其顶点坐标为（1，1）
当把C₁向右平移2个单位，再向上平移1个单位时，
抛物线C₂的顶点P的坐标为（3，2）
∴C₂的解析式为y₂=-（x-3）²+2；

（2）符合条件的N点存在．
如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵点P的坐标为（3，2），
∴NB=PA=2，
∵点N在抛物线y₁、y₂上，且P点为y₁、y₂的最高点
∴符合条件的N点只能在x轴下方，
当点N在C₁上时，y1=-2，即-2=-（x-1）²+1，
解得：x=1±，
∴N₁（1+，-2），N₂（1-，-2）；
当点N在C₂上时，y2=-2，即=-（x-3）²+2=-2，
解得：x=5或1，
∴N₃（5，-2），N₄（1，-2），
∴满足条件的点N有4个，分别是N₁（1+，-2）、N₂（1-，-2）、N₃（5，-2）、N₄（1，-2）．
分析：（1）先利用配方法，把y₁化为顶点式，直接利用二次函数平移的规律求出平移后的二次函数的顶点坐标问题得解；
（2）假设符合条件的N点存在，利用平行四边形的性质和三角形全等，找出点N到x轴的距离，即抛物线的纵坐标，代入解析式，解方程解决问题即可．
点评：此题考查利用平移的规律求二次函数顶点式解析式，利用平行四边形的性质、三角形的全等与性质以及二次函数图象上点的坐标特征解决问题．