Question

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

Answer 1

分析：（1）由圆周角定理知∠A=∠P，而∠ACB=∠PCD=90°，故有△ABC∽△PCD?

AC

CP

=

BC

CD

?AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．由题意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

．代入数值可求得PE的值，从而PC=PE+EC，由（1）知CD=

4

3

PC，即可求出；
（3）由题意知，S_△PCD=

1

2

PC•CD．由（1）可知，CD=

4

3

PC．有S_△PCD=

2

3

PC²．故PC最大时，S_△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，故可求解．

解答：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
又∵PC⊥CD，
∴∠PCD=90°．
而∠CAB=∠CPD，
∴△ABC∽△PDC．
∴

AC

CP

=

BC

CD

．
∴AC•CD=PC•BC；（3分）

（2）解：当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵AB为直径，AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4．
∵P是

AB

的中点，
∴∠PCB=45°，
∴CE=BE=

2

2

BC=2

2

．
又∠CAB=∠CPB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

．
∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

(

2

2

BC)=

3 2

2

．
从而PC=PE+EC=

7 2

2

，
由（1）得CD=

4

3

PC=

14 2

3

（7分）

（3）解：当点P在AB上运动时，S_△PCD=

1

2

PC•CD．由（1）可知，CD=

4

3

PC．
∴S_△PCD=

1

2

CD×PC=

1

2

×

4

3

PC×PC=

2

3

PC²．故PC最大时，S_△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，
∴S_△PCD的最大值S=

2

3

×5²=

50

3

．（10分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆内的圆周角，直径与圆周角的关系，以及正切的概念．