Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，-m-1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将A（-1，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax²+bx-3a中，
得

a-b-3a=0 -3a=-3

，
解得

a=1 b=-2

，
∴y=x²-2x-3；

（2）将点D（m，-m-1）代入y=x²-2x-3中，得
m²-2m-3=-m-1，
解得m=2或-1，
∵点D（m，-m-1）在第四象限，
∴D（2，-3），
∵直线BC解析式为y=x-3，
∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3-2=1，
∴点D关于直线BC对称的点D'（0，-1）；

（3）存在．
过D点作DE⊥x轴，垂足为E，交直线BC于F点（如图），
∵∠PCB=∠CBD，
∴CP∥BD，
又∵CD∥x轴，四边形PCDB为平行四边形，

∴△OCP≌△EDB，
∴OP=BE=1，
设CP与BD相交于M点（m，3m-9），
易求BD解析式为：y=3x-9，
由BM=CM，得到关于m的方程，解方程后，得m=

9

4

；
于是，M点坐标为：M（

9

4

，-

9

4

）；
于是CM解析式为：y=

1

3

x-3，
令CM方程中，y=0，则x=9，
所以，P点坐标为：P（9，0），
∴P（1，0），或（9，0）．