在平面直角坐标系中给定以下五个点A.D(.).E(1.0)．(1)请从五点中任选三点.求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式,(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴.并画出草图,(3)已知点F(-1.)在抛物线的对称轴上.直线y=过点G(-1.)且垂直于对称轴．验证:以E(1.0)为圆心.EF为半径的圆与直线y=相切．请你进一步验证.以抛物线上的点D(.)为圆心DF为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2008•赤峰）在平面直角坐标系中给定以下五个点A（-3，0），B（-1，4），C（0，3），D（

，

），E（1，0）．
（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；
（3）已知点F（-1，

）在抛物线的对称轴上，直线y=

过点G（-1，

）且垂直于对称轴．验证：以E（1，0）为圆心，EF为半径的圆与直线y=

相切．请你进一步验证，以抛物线上的点D（

，

）为圆心DF为半径的圆也与直线y=

相切．由此你能猜想到怎样的结论．

【答案】分析：首先用待定系数法求得抛物线的解析式，利用抛物线的公式求得抛物线的顶点坐标及对称轴，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段EF、DF的长，再与点E、D到直线

的距离比较，得到点E和点D分别到点F的距离等于各自到直线

的距离．
最后可猜想：以抛物线上任意一点P为圆心，以PF为半径的圆与直线y=

相切．
解答：

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
且过点A（-3，0），C（0，3），E（1，0），
由（0，3）在y=ax²+bx+cH．
则c=3．
得方程组

，
解得a=-1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
得顶点坐标为（-1，4），对称轴为x=-1．

（3）①连接EF，过点E作直线y=

的垂线，垂足为N，
则EN=HG=

．
在Rt△FHE中，HE=2，HF=

，
∴EF=

，
∴EF=EN，
∴以E点为圆心，EF为半径的⊙E与直线y=

相切．
②连接DF过点D作直线

的垂线，垂足为M．过点D作DQ⊥GH垂足Q，
则DM=QG=

．
在Rt△FQD中，QD=

，QF=

=2．FD=

．
∴以D点为圆心DF为半径的⊙D与直线y=

相切．
③以抛物线上任意一点P为圆心，以PF为半径的圆与直线y=

相切．
说明：解答题只提供了一种答案，如有其他解法只要正确，可参照本评分标准按步骤赋分．
点评：本题考查了用待定系数法确定抛物线的解析式，及由抛物线的解析式求顶点坐标和对称轴的方法；
第3问利用构造直角三角形，勾股定理求线段的长，及定点到定直线的距离的求法；
最后的猜想实际是说明了抛物线是由到定点和定直线距离相等的点的集合．

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张老师于2008年2月份在赤峰某县城买了一套楼房，当时（即2月份）在农行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.5%（每月还款数额=平均每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率）．
（1）求张老师借款后第一个月的还款数额．
（2）假设贷款月利率不变，请写出张老师借款后第n（n是正整数）个月还款数额p与n之间的函数关系式（不必化简）．
（3）在（2）的条件下，求张老师2010年7月份的还款数额．

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