Question

11．如图，抛物线顶点坐标为点C（2，8），交x轴于点A（6，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）x轴上是否存在一点Q，过点Q作x轴的垂线，交抛物线于P点，交直线BA于D点，使以PD为直径的圆与y轴相切？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理出．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线解析式，用待定系数法求出抛物线解析式，即可得出点B的坐标，进而求出直线AB解析式；
（2）设出点Q的坐标，进而得出点D，P的坐标，即可得出PD，用圆心到y轴的距离等于半径，建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线顶点坐标为点C（2，8），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+8，
∵抛物线交x轴于点A（6，0），
∴0=a（6-2）²+8，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
∴B（0，6），
设直线AB的解析式为y=kx+6，
∵A（6，0），
∴6k+6=0，
∴k=-1，
∴直线AB的解析式为y=-x+6；
（2）设Q（m，0）（m≠0），
∴D（m，-m+6），P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+6），
∴PD=|-$\frac{1}{2}$m²+2m+6-（-m+6）|=|$\frac{1}{2}$m²-3m|，
∵以PD为直径的圆与y轴相切，
∴$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$m²-3m|=|m|，
∴m=0（舍）或m=2或m=10，
满足条件的Q（2，0）、（10，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的切线的性质，解（1）的关键是设出抛物线的顶点式，解（2）的关键是圆心到y轴的距离等于半径建立方程．