Question

【题目】阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0…①

解得y1＝﹣2，y2＝3，当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；

当y2＝3时，x2＝﹣3，解得x＝±；

所以原方程的解为x1＝，x2＝﹣；

问题：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到了降次的目的，体现了　 　的数学思想；

（2）利用以上学习到的方法解下列方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．

Answer 1

【答案】（1）换元，化归；（2）x1＝0，x2＝﹣5

【解析】

（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想，据此可得答案；

（2）令y＝x2+5x，得到关于y的一元二次方程，解之求出y的值，从而得到两个关于x的一元二次方程，分别求解可得．

解：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；

故答案为：换元，化归．

（2）令y＝x2+5x，

则原方程化为（y+1）（y+7）＝7，

整理，得：y2+8y＝0，

解得y1＝0，y2＝﹣8，

当y＝0时，x2+5x＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣5；

当y＝﹣8时，x2+5x＝﹣8，即x2+5x+8＝0，

∵△＝52﹣4×1×8＝﹣7＜0，

∴此方程无解．

综上，方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7的解为x1＝0，x2＝﹣5．