【题目】阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题.材料:为解方程x4﹣x2﹣6=0可将方程变形为(x2)2﹣x2﹣6=0然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2﹣y﹣6=0…①
解得y1=﹣2,y2=3,当y1=﹣2时,x2=﹣2无意义,舍去;
当y2=3时,x2=﹣3,解得x=±;
所以原方程的解为x1=,x2=﹣;
问题:(1)在原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的,体现了 的数学思想;
(2)利用以上学习到的方法解下列方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.
【答案】(1)换元,化归;(2)x1=0,x2=﹣5
【解析】
(1)利用换元法达到了降次的目的,体现了化归的数学思想,据此可得答案;
(2)令y=x2+5x,得到关于y的一元二次方程,解之求出y的值,从而得到两个关于x的一元二次方程,分别求解可得.
解:(1)在原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了化归的数学思想;
故答案为:换元,化归.
(2)令y=x2+5x,
则原方程化为(y+1)(y+7)=7,
整理,得:y2+8y=0,
解得y1=0,y2=﹣8,
当y=0时,x2+5x=0,
解得:x1=0,x2=﹣5;
当y=﹣8时,x2+5x=﹣8,即x2+5x+8=0,
∵△=52﹣4×1×8=﹣7<0,
∴此方程无解.
综上,方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7的解为x1=0,x2=﹣5.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=7,点E是AD边上的一点,连接BE,将BE绕点E顺时针旋转90°至B′E,连接B′D,当△B′ED是直角三角形时,线段AE的长为_____.
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【题目】某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1.在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其它三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是288m2?
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【题目】(本小题满分10分)如图,一次函数的图象与反比例函数(为常数,且)的图象交于A(1,a)、B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①b<2a;②a+2c﹣b>0;③b>a>c;④b2+2ac<3ab.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,OF是∠MON的平分线,点A在射线OM上,P,Q是直线ON上的两动点,点Q在点P的右侧,且PQ=OA,作线段OQ的垂直平分线,分别交直线OF、ON交于点B、点C,连接AB、PB.
(1)如图1,当P、Q两点都在射线ON上时,请直接写出线段AB与PB的数量关系;
(2)如图2,当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时,线段AB,PB是否还存在(1)中的数量关系?若存在,请写出证明过程;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,∠MON=60°,连接AP,设=k,当P和Q两点都在射线ON上移动时,k是否存在最小值?若存在,请直接写出k的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)AB=PB;(2)存在;(3)k=0.5.
【解析】试题分析:(1)结论:AB=PB.连接BQ,只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题;
(2)存在.证明方法类似(1);
(3)连接BQ.只要证明△ABP∽△OBQ,即可推出=,由∠AOB=30°,推出当BA⊥OM时, 的值最小,最小值为0.5,由此即可解决问题;
试题解析:解:(1)连接:AB=PB.理由:如图1中,连接BQ.
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO,∵OF平分∠MON,∴∠AOB=∠BQO,∵OA=PQ,∴△AOB≌△PQB,∴AB=PB.
(2)存在,理由:如图2中,连接BQ.
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO,∵OF平分∠MON,∠BOQ=∠FON,∴∠AOF=∠FON=∠BQC,∴∠BQP=∠AOB,∵OA=PQ,∴△AOB≌△PQB,∴AB=PB.
(3)连接BQ.
易证△ABO≌△PBQ,∴∠OAB=∠BPQ,AB=PB,∵∠OPB+∠BPQ=180°,∴∠OAB+∠OPB=180°,∠AOP+∠ABP=180°,∵∠MON=60°,∴∠ABP=120°,∵BA=BP,∴∠BAP=∠BPA=30°,∵BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO=30°,∴△ABP∽△OBQ,∴ =,∵∠AOB=30°,∴当BA⊥OM时, 的值最小,最小值为0.5,∴k=0.5.
点睛:本题考查相似综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直线l:y=﹣x﹣4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交直线l于点F.
(1)试求该抛物线表达式;
(2)如图(1),若点P在第三象限,四边形PCOF是平行四边形,求P点的坐标;
(3)如图(2),过点P作PH⊥y轴,垂足为H,连接AC.
①求证:△ACD是直角三角形;
②试问当P点横坐标为何值时,使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似?
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【题目】某商店分两次购进、两种商品进行销售,两次购进同一种商品的进价相同,具体情况如下表所示:
购进数量(件) | 购进所需费用 (元) | ||
A | B | ||
第一次 | 20 | 50 | 4100 |
第二次 | 30 | 40 | 3700 |
(1)求、两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定商品以每件50元出售,商品以每件元出售.为满足市场需求,需购进、两种商品共件,且商品的数量不少于商品数量的倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.
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【题目】如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;
(2)B点的对应点B′的坐标是 ;C点的对应点C′的坐标是 ;
(3)在BC上有一点P(x,y),按(1)的方式得到的对应点P′的坐标是 .
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