Question

4．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点M（2，2）为圆心，4为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点N在⊙M上．
（1）点A坐标（2-2$\sqrt{3}$，0），点B坐标（2+2$\sqrt{3}$，0）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P（m，n）在直线y=-x+$\frac{13}{2}$上方的抛物线上，且∠APB＞60°，求m的取值范围；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段ON与MD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作DC⊥AB，垂足为D．由垂径定理可知：AD=DB，然后由勾股定理可求得AD的长，从而得到点A和点B的坐标；
（2）由图形的对称性可知P在CD上，从而可求得点P的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+6，将点B的坐标代入可得到a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（3）如图2中，设直线y=-x+$\frac{13}{2}$与抛物线的交点为E、F，由∠AMB=120°，可知点P在直线y=-x+$\frac{13}{2}$上方（包括E、F两点，除点N），都是满足条件∠APB＞60°（∠ANB=$\frac{1}{2}$AMB=60°），利用方程组求出点E、F两点坐标即可解决问题．
（4）取OP的中点E，连接CE，并延长CE到D使ED=CE．首先由线段的中点坐标公式求得点D的坐标，然后判断点D是否在抛物线上即可．

解答 解：如图1所示：过点M作MD⊥AB，垂足为D．

∵MD⊥AB，
∴AD=DB．
∵在Rt△ADC中，AC=4，CD=2，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴DB=2$\sqrt{3}$．
∴A（2-2$\sqrt{3}$，0）、B（2+2$\sqrt{3}$，0）．
故答案为（2-2$\sqrt{3}$，0），（2+2$\sqrt{3}$，0）．

（2）如图1所示：
∵点A与点B关于MD对称，
∴MD为抛物线的对称．
∴顶点N在MD上．
∵MD=2，MN=4，
∴ND=6．
∴N（2，6）．
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+6．
∵将点B的坐标代入得：12a+6=0，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+6，即y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+4．

（3）如图2中，设直线y=-x+$\frac{13}{2}$与抛物线的交点为E、F．

在Rt△AMD中，∵AM=2DM，
∴∠MAD=30°，
∴∠AMD=∠BMD=60°，
∴∠AMB=120°，
∴点P在直线y=-x+$\frac{13}{2}$上方（包括E、F两点，除点N），都是满足条件∠APB＞60°（∠ANB=$\frac{1}{2}$AMB=60°），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴F（1，$\frac{11}{2}$），E（5，$\frac{3}{2}$），
∴m的取值范围：1≤m≤5且m≠2．

（4）存在．
理由：如图3所示：取ON的中点E，连接ME，并延长ME到D使ED=ME．

设点D的坐标为（x，y）．
∵ON与MD相互平分，
∴$\frac{x+2}{2}$=$\frac{0+2}{2}$，$\frac{y+2}{2}$=$\frac{6+0}{2}$，
∴x=0，y=4，
∵将x=0代入抛物线的解析式得y=4，
∴点D在抛物线上．
∴当点D的坐标为（0，2）时，OP与CD相互平分．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式、线段的中点坐标公式，求得点P的坐标是解答问题（2）的关键；判断点P的位置，求出直线与抛物线的交点坐标是简单（3）是关键；利用线段中点坐标公式求得点D的坐标是解答问题（4）的关键，本题综合性比较强，属于中考压轴题．