Question

4．如图，在正方形ABCD中，AB=5．点E为BC边上一点（不与点B重合），点F为CD边上一点，线段AE、BF相交于点O，其中AE=BF．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）若OA-OB=1，求OA的长及四边形OECF的面积；
（3）连接OD，若△AOD是以AD为腰的等腰三角形，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABE≌△BCF，即可推出∠BAE=∠CBF，由∠BAE+∠AEB=90°，推出∠CBF+∠AEB=90°，推出∠BOE=90°；
（2）设OB=x，则OA=x+1，在Rt△AOB中，由AB²=OA²+OB²，可得x²+（x+1）²=5²，推出x=3或-4（舍弃），推出OA=4，OB=3，根据S_{四边形OECF}=S_△AOB计算即可；
（3）作DH⊥OA于H．易证△ADH≌△BAO，推出AH=OB，由△ADO是AD为腰的等腰三角形，OA＜AB=AD，推出只有AD=OD，推出AH=OH=OB，设AH=OH=OB=a，可得（2a）²+a²=5²，推出a=$\sqrt{5}$，推出OA=2$\sqrt{5}$，由cos∠BAE=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{OA}{AB}$，列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=CB，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BOE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）设OB=x，则OA=x+1，
在Rt△AOB中，∵AB²=OA²+OB²，
∴x²+（x+1）²=5²，
∴x=3或-4（舍弃），
∴OA=4，OB=3，
∵△ABE≌△BCF，
∴S_△ABE=S_△BCF，
∴S_{四边形OECF}=S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×4=6．


（3）作DH⊥OA于H．易证△ADH≌△BAO，
∴AH=OB，
∵△ADO是AD为腰的等腰三角形，OA＜AB=AD，
∴只有AD=OD，
∴AH=OH=OB，设AH=OH=OB=a，
∴（2a）²+a²=5²，
∴a=$\sqrt{5}$，
∴OA=2$\sqrt{5}$，
∵cos∠BAE=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴$\frac{5}{AE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AE=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．