如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB=10，∠A=30°，半径为1的动圆Q的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PB长为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点分别为E、D，连结ED、EQ．分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角，可知∠BDE=∠BCA=90°，由此即可证明；
（2）如图3中，设⊙P和AC相交于M、N．BP=CQ=t，AP=AB-BP=10-t，过点P作PH⊥AC于H．在Rt△APH中，由∠A=30°，推出PH=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（10-t），在Rt△PHN中，NH=$\sqrt{P{N}^{2}-P{H}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3{t}^{2}+20t-100}$，推出MN=2MH=$\sqrt{3{t}^{2}+20t-100}$，即y=$\sqrt{3{t}^{2}+20t-100}$，由此即可角问题．
（3）当⊙P与⊙Q外切时，如图4中，作PH⊥BC于H．易知此时∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t，在Rt△PHQ中，利用勾股定理即可列出方程解决问题．
解答 解：（1）结论：DE⊥BC．理由如下：
如图1中，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∴DE⊥BC，
∵∠BCA=90°，∠A=30°，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BC}{BA}$=$\frac{1}{2}$，
如图2中，当C、D重合时，设CQ=CD=t，则BD=5-t，BE=2t，
∴$\frac{5-t}{2t}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$．
∴当t=$\frac{5}{2}$时，Q与D重合．
（2）如图3中，设⊙P和AC相交于M、N．BP=CQ=t，AP=AB-BP=10-t，
过点P作PH⊥AC于H．
在Rt△APH中，∵∠A=30°，
∴PH=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（10-t），
在Rt△PHN中，NH=$\sqrt{P{N}^{2}-P{H}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3{t}^{2}+20t-100}$，
MN=2MH=$\sqrt{3{t}^{2}+20t-100}$，
即y=$\sqrt{3{t}^{2}+20t-100}$，
当⊙O经过点B点时，CQ=CB-QB=4，
将t=$\frac{4}{1}$代入得到，MN=2$\sqrt{7}$，
（3）当⊙P与⊙Q外切时，如图4中，作PH⊥BC于H．易知此时∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t，
∵在Rt△PBH中，BH=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$t．PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
在Rt△PHQ中，PH2+QH2=PQ2，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）2+（5-$\frac{3}{2}$t）2=（t+1）2，
整理得2t2-17t+24=0，
解得t=$\frac{17-\sqrt{97}}{4}$或$\frac{17+\sqrt{97}}{4}$（舍弃）
∵从此时起到停止运动，⊙P与⊙Q都处于相交位置，
∴⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围为$\frac{17-\sqrt{97}}{4}$＜t≤5．
点评 本题考查圆综合题、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、两圆相切的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | -m8n4 | B． | mn4 | C． | -m9n | D． | 5m3n2 |
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科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BC=$\sqrt{6}$，点D是AB上的一点，且AD=$\sqrt{3}$，BD=3，将∠A沿过D点的直线DE对折，点A落在A′的位置，连接BA′、A′C、，若△A′BC是等腰三角形，则∠BA′D=120°或180°或90°．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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科目：初中数学 来源： 题型：填空题
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科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，菱形ABCD，∠A=60°，AB=4，以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，扇形的圆心角为60°，点E是CD的中点，图中两块阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2-S1=2$\sqrt{3}$-π．查看答案和解析>>
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如图，一棵高为8m的大树被台风刮断，若树在离地面3m点C处折断，则树顶端落在离树底部（ ）处．