分析 (1)由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD=90°.得出∠ABC=90°,即可得出结论.
(2)连接AE.由圆周角定理得出∠BAD=∠BED,得出$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$.求出直径AB=10.证出AE=BE.得出△AEB是等腰直角三角形.得出∠BAE=45°,由三角函数即可得出结果.
解答 (1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠A+∠ABD=90°.
又∵∠A=∠CBD,
∴∠CBD+∠ABD=90°.
∴∠ABC=90°.
∴AB⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径,
∴BC为⊙O的切线.
(2)解:连接AE.如图所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=∠ADB=90°.
∵∠BAD=∠BED,
∴$sin∠BAD=sin∠BED=\frac{3}{5}$.
∴在Rt△ABD中,$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$.
∵BD=6,
∴AB=10.
∵E为$\widehat{AB}$ 中点,
∴AE=BE.
∴△AEB是等腰直角三角形.
∴∠BAE=45°.
∴$BE=AB•sin∠BAE=10×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=5\sqrt{2}$.
点评 本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、三角函数、等腰直角三角形的判定与性质等知识;熟练掌握切线的判定,由三角函数求出直径是解决问题(2)的关键.
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A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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