Question

2．已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC=2∠EBC．

（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB=54°，∠AEC=99°；
（2）如图2，求证：AE+AC=BC；
某同学的思路为：①在CB上截取CF，使CF=CA．连接EF；②证△ACE≌△FCE；③证AE=FB，请你根据该同学的思路进行证明．
（3）如图2，若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB=27°，根据角平分线的性质得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分线的性质得到∠ACD=∠ECB=27°，因为∠EAC=2∠EBC=54°，求得∠AEC=180°-27°-54°=99°；
（2）在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF，构造全等三角形，由全等三角形的性质推出AE=FE，再根据FB=FE，得到AE=FB，即可得出AE+AC=FB+FC=BC；
（3）在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF，连接AF，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AFC是等边三角形，通过三角形全等得到∠EBC=∠FAE，由∠FAC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠FAE，于是得出∠EBC的度数．

解答 解：（1）如图1，∵∠EBC=27°，且EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=27°，
∵∠DEB是△BCE的外角，
∴∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=27°，
∵∠EAC=2∠EBC，
∴∠EAC=54°，
∴△ACE中，∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=99°，
故答案为：54，99；

（2）证明：如图2，在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=FC}\\{∠1=∠2}\\{EC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△FCE（SAS），
∴∠3=∠4，AE=FE，
∵∠4=∠5+∠6，
∴∠3=∠5+∠6，
∵∠3=2∠6，
∴∠5=∠6，
∴FB=FE，
∴AE=FB，
∴AE+AC=FB+FC=BC；

（3）如图3，连接AF，
∵∠1=∠2=30°，
∴∠ACF=60°，
∵AC=FC，
∴△ACF是等边三角形，
∴AF=AC，∠FAC=60°，
∵AC=BE，
∴BE=AF，
在△BFE和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AE}\\{FE=EF}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△AEF（SSS），
∴∠6=∠FAE，
∵∠FAE+∠3=60°，
∴∠6+∠3=60°，
∵∠3=2∠6，
∴∠6=20°，
即∠EBC=20°．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质的综合应用，正确作出辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．