已知直线y=-12x+2分别交x轴.y轴于A.B两点.线段OA上有一个动点P由原点O向点A运动.速度为每秒1个单位.过点P作x轴的垂线交直线AB于点C.以点C为顶点的抛物线y=-4(x+m)2+n与直线AB的另一交点为D.与x轴交于点E(点E在抛物线对称轴的右侧)．设点P运动时间为t秒．(1)直接写出点A的坐标.并求t=1时抛物线的解析式,(2)当t为何值时.以C.P.E为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知直线y=-

x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一个动点P由原点O向点A运动（与点A不重合），速度为每秒1个单位，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，以点C为顶点的抛物线y=-4（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D，与x

轴交于点E（点E在抛物线对称轴的右侧）．设点P运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标，并求t=1时抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似？
（3）①求CD的长；
②设△COD的OC边长的高为h，当t为何值时，h的值最大？

分析：（1）令y=0，求出x的值即可得到点A的坐标，求出t=1时的x、y的值，得到点C的坐标，然后代入抛物线解析式即可得解；
（2）根据直线的解析式求出点B的坐标，然后求出OA、OB的长，再求出OP的长，然后根据直线解析式求出PC的长，从而得到点C的坐标，然后表示出抛物线解析式，再分①PE与OA是对应边时，点E、A重合，然后把点A的坐标代入抛物线求解即可得到t的值；②PE与OB是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PE的长，然后得到点E的坐标，再把点E的坐标代入抛物线解析式求解即可得到t的值；
（3）①联立抛物线与直线解析式求出点D的横坐标，再过点D作DH⊥PC于H，从而求出DH的长，再根据△DCH和△ABO相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到CD的长；
②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，根据勾股定理列式求出AB，再根据△AOB的面积求出OF的长，然后根据CD的长度不变，是定值可知OC的长度最小时，OC边上的高h最大，此时OF、OC重合，然后根据△OFG和△BAO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，则-

x+2=0，解得x=4，
所以，点A（4，0），
∵点P的运动速度是每秒1个单位，
∴t=1时，x=1，y=-

+2=

，
∴点C的坐标为（1，

），
∴抛物线解析式为y=-4（x-1）²+

；

（2）令x=0，则y=2，
所以，点B的坐标为（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵OP=t，
∴PC=-

t+2，
∴C（t，-

t+2），
∴y=-4（x-t）²-

t+2，
①PE与OA是对应边时，此时点E与点A重合，
∴-4（4-t）²-

t+2=0，
整理得，（t-4）（4t-16+

）=0，
解得t₁=4（为点C，舍去），t₂=

，
②PE与OB是对应边时，∵△PCE∽△OAB，
∴

，
即

t+2

，
解得PE=-

t+1，
∴OE=t-

t+1=

t+1，点E的坐标为（

t+1，0），
∵点E在抛物线上，
∴-4（

t+1-t）²-

t+2=0，
整理得，（t-4）（t-2）=0，
解得t₁=4（为点C，舍去），t₂=2，
综上所述，当t=2或t=

时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似；

（3）①联立

y=-

x+2

y=-4(x-t)2-

t+2

消掉y得，-4（x-t）²-

t+2=-

x+2，
整理得，（x-t）（-4x+4t+

）=0，
解得x₁=t，x₂=t+

，
则点D的横坐标为t+

，过点D作DH⊥PC于H，则DH=

，
∵PC⊥x轴，DH⊥PC，
∴△DCH∽△ABO，

∴

，
∵OA=4，OB=2，
∴AB=

OA2+OB2

42+22

，
∴

，
解得CD=

；
②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵不论点P在何处，CD的长不变，
∴△ODC的面积也不变，
当OC长最小时，OC边上的高h最大，
∵S_△AOB=

×2

•OF=

×2×4，
∴OC=OF=

，
∵△OFG∽△BAO，
∴

，
即

，
解得OG=

，
即t=

时，h的值最大．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了直线与坐标轴的交点的求解，相似三角形对应边成比例的性质，勾股定理，利用等积法求三角形的高，综合性较强，难度较大，（2）要分情况讨论，（3）作辅助线构造相似三角形是解题的关键．

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