已知:如图,一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,并且使一条直角边经过点C,三角板的另一条直角边与AD交于点Q.
(1)请你写出此时图形中成立的一个结论(任选一个);
(2)当点P满足什么条件时,有AQ+BC=CQ,请证明你的结论;
(3)当点Q在AD的什么位置时,可证得PC=3PQ,并写出论证的过程.
解:(1)△APQ~△BCP.
(2)当P为AB中点时,有AQ+BC=CQ.
证明:连接CQ,延长QP交CB的延长线于点E.
可证 △APQ≌△BPE.
则 AQ=BE,PQ=PE,
又因为 CP⊥QC,可得CQ=CE,
所以AQ+BC=CQ.
(3)当AQ=AD时,有PC=3PQ.
证明:在正方形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=BC=AB,
又因为直角三角板的顶点P在边AB上,
所以 ∠1+∠2=180°-∠QPC=90°.
因为 Rt△CBP中,∠3+∠2=90°,
所以 ∠1=∠3.
所以 △APQ~△BCP.
所以 .
因为 AQ=,
所以 .
所以 AP=AB,或AP= (不合题意,舍去).
所以 .
所以PC=3PQ.
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