Question

【题目】已知矩形ABCD，AB=6，BC=10，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD边上取一点E，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处．

（1）求线段EF长；

（2）在平面内找一点G，

①使得以A、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；

②如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m个单位，若四边形AOGF为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标．

Answer 1

【答案】（1）EF=；（2）①点G的坐标为（-8,6）或（8,6）或（8,-6）；②m=4，点G的坐标是（8，-6）.

【解析】

（1）由矩形的性质得到AD=BC=10，CD=AB=6，由折叠得AF=AD=10，根据勾股定理求出OF=8，得到FC=OC-OF=2，再利用勾股定理得到 ，即可求出EF；

（2）①分别以AB、AF、BF为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质得到点G的坐标；

②根据菱形的性质求出AO=AF=10，由此得到平移的距离m=4, 设FG交x轴于点H，证明四边形OBFH是矩形，得到=OB=4，OH=BF=8，求出HG=10-4=6，由此求出点G的坐标是（8，-6）.

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，CD=AB=6，

由折叠得AF=AD=10，

∵∠AOC=90°，AO=6，

∴OF=8，

∴FC=OC-OF=2，

在Rt△EFC中， ，

∴，

解得EF=；

（2）①当AB为平行四边形的对角线时，AG=BF且AG∥BF，∴点G的坐标为（-8,6）；

当AF为平行四边形的对角线时，AG=BF且AG∥BF，∴点G的坐标为（8,6）；

当BF为平行四边形的对角线时，FG=AB且FG∥AB，∴点G的坐标为（8,-6）；

综上，点G的坐标为（-8,6）或（8,6）或（8,-6）；

②∵四边形AOGF是菱形，

∴AO=AF=10,

∴矩形ABCD平移的距离m=AO-AB=10-6=4，即OB=4，

设FG交x轴于点H，

∵AO∥FG，BC∥x轴，

∴∠FBO=∠BOH=∠OHF=90°，

∴四边形OBFH是矩形，

∴FH=OB=4，OH=BF=8，

∴HG=10-4=6，

∴点G的坐标是（8，-6）.