Question

17．在求1+6+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹①然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹+6¹⁰②
②-①得6S-S=6¹⁰-1，即5S=6¹⁰-1，所以S=$\frac{{6}^{10}-1}{5}$，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴的值？你的答案是（　　）

• A． $\frac{{a}^{2014}-1}{a-1}$
• B． $\frac{{a}^{2015}-1}{a-1}$
• C． $\frac{{a}^{2014}-1}{a}$
• D． a²⁰¹⁴-1

Answer 1

分析 首先根据题意，设M=1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴，求出aM的值是多少，然后求出aM-M的值，即可求出M的值，据此求出1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴的值是多少即可．

解答 解：∵M=1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴①，
∴aM=a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴+a²⁰¹⁵②，
②-①，可得aM-M=a²⁰¹⁵-1，
即（a-1）M=a²⁰¹⁵-1，
∴M=$\frac{{a}^{2015}-1}{a-1}$．
故选：B．

点评 （1）此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）此题还考查了等比数列的求和方法，以及类推方法的应用，要熟练掌握．