Question

恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB； 图（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.　

(1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.

(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.

(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，

建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

　　

Answer 1

解:⑴图（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,

∴AC=30                  ．

在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30   ∴BC=40 

∴ BP=

S1=         

⑵图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，

又BC=40

∴BA'=

由轴对称知：PA=PA'

∴S2=BA'=           

∴                    

(2)如 图（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'

∴MB+MA=MB+MA'A'B

∴S2=BA'为最小      

（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，

连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求

过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,

A'B'=

∴所求四边形的周长为