小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．(1)如图①所示两个等腰直角△ABC.△DBE.两直角边交于点F.连接BF.AD.求证:BF=AD,(2)如果小华将两块三角板△ABC.△DBE如图②所示摆放.使D.B.C三点在一条直线上.AC.DE的延长线相交于点F.过点F作FG∥BC.交直线AE于点G.连接AD.FB.求证:FG=AC+DC,的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．
（1）如图①所示两个等腰直角△ABC，△DBE，两直角边交于点F，连接BF、AD，求证：BF=AD；
（2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使D、B、C三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连接AD，FB，求证：FG=AC+DC；
（3）在（2）的条件下，若AG=7$\sqrt{2}$，DC=5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），若PG=2，求线段FQ的长．

分析（1）根据等腰直角三角形的性质得出CD=CF，由SAS定理得出△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据△ABC、△BDE是等腰直角三角形可知∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°，再由FG∥CD得出∠G=45°，故AF=FG．再根据CD⊥CF，∠CDF=45°得出CD=CF，由AF=AC+CF得出AF=AC+DC，由此可得出结论；
（3）过点B作BH⊥FG垂足为H，过点P作PK⊥AG于点K，根据FG∥BC，C、D、B在一条直线上，故可得出△AFG、△DCF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出AF=FG，FD的长，由BH∥CF，∠BHF=90°，FG∥BC可知四边形CFHB是矩形，再由FG∥BC得出∠G=45°，HG=BH=5，BG=5$\sqrt{2}$，由相似三角形的判定定理可知△BQH∽△BPK，故$\frac{PK}{QH}$=$\frac{BK}{BH}$，由此可得出结论．

解答（1）证明：∵△ABC，△DBE是等腰直角三角形，
∴△CDF也是等腰直角三角形；
∴CD=CF，
在△BCF与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}CD=CF\\∠BCF=∠ACD\\ AC=BC\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF=AD；

（2）证明：∵△ABC、△BDE是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°，
∵FG∥CD，
∴∠G=45°，
∴AF=FG；
∵CD⊥CF，∠CDF=45°，
∴CD=CF，
∵AF=AC+CF，
∴AF=AC+DC．
∴FG=AC+DC；

（3）解：过点B作BH⊥FG垂足为H，过点P作PK⊥AG于点K，
∵FG∥BC，C、D、B在一条直线上，
可证△AFG、△DCF是等腰直角三角形，
∵AG=7$\sqrt{2}$，CD=5，
∴根据勾股定理得：AF=FG=7，FD=5$\sqrt{2}$，
∴AC=BC=2，
∴BD=3；
∵BH⊥FG，
∴BH∥CF，∠BHF=90°，
∵FG∥BC，
∴四边形CFHB是矩形，
∴BH=5，FH=2；
∵FG∥BC，
∴∠G=45°，
∴HG=BH=5，BG=5$\sqrt{2}$；
∵PK⊥AG，PG=2，
∴PK=KG=$\sqrt{2}$，
∴BK=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$；
∵∠PBQ=45°，∠HGB=45°，
∴∠GBH=45°，
∴∠HBQ=∠PBK；
∵PK⊥AG，BH⊥FG，
∴∠BHQ=∠BKP=90°，
∴△BQH∽△BPK，
∴$\frac{PK}{QH}$=$\frac{BK}{BH}$，
∴QH=$\frac{5}{4}$，
∴FQ=$\frac{3}{4}$．

点评本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，难度较大．

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