Question

如图，抛物线C₁：y=x²+2x-3的顶点为M，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，顶点为N，与x轴相交于E、F两点．
（1）抛物线C₂的函数关系式是______；
（2）点A、D、N是否在同一条直线上？说明你的理由；
（3）点P是C₁上的动点，点P′是C₂上的动点，若以OD为一边、PP′为其对边的四边形ODP′P（或ODPP′）是平行四边形，试求所有满足条件的点P的坐标；
（4）在C₁上是否存在点Q，使△AFQ是以AF为斜边且有一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线C₁、C₂关于y轴对称，且C₁：y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴M（-1，-3）、N（1，-3），C₂：y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）三点在同一直线上，理由：
由C₁：y=x²+2x-3，得：A（-3，0）、D（0，-3）；
设直线AD的解析式：y=kx+b，则有：
，
解得
故直线AD：y=-x-3；
当x=1时，y=-1-3=-4，即点N在直线AD上；
所以，A、D、N三点共线．

（3）∵四边形ODP′P（或ODPP′）是平行四边形，且OD、PP′为边，
∴ODPP′；
设P（x，x²+2x-3），则P′（x，x²-2x-3），由PP′=OD=3，得：
|（x²+2x-3）-（x²-2x-3）|=3，
解得：x=±；
故点P的坐标为（，-）或（-，-）．

（4）满足条件的点Q不存在，理由如下：
①当点Q在x轴下方时，∠AFQ=30°，如右图；
在Rt△AFQ中，AF=6，∠AFQ=30°，QG⊥AF，有：
AQ=AF=3，AG===，QG=AG•tan60°=；
则Q（-，-）；
将Q（-，-）代入抛物线C₁：y=x²+2x-3中，等式不成立；
②当点Q在x轴上方时，∠FAQ=30°；
同①可求得，Q（，），代入抛物线C₁：y=x²+2x-3中，等式不成立；
综上，不存在符合条件的点Q使得△AFQ是以AF为斜边且有一个角为30°的直角三角形．
分析：（1）抛物线C₁、C₂关于y轴对称，那么它们的开口方向、开口大小都相同（即二次项系数相同），顶点关于y轴对称（即M、N关于y轴对称）；首先将抛物线C₁写成顶点式，再根据上述条件得出抛物线C₂的解析式．
（2）点A、D的坐标可由抛物线C₁的解析式得出，利用待定系数法能求得直线AD的解析式，然后将点N的坐标代入直线AD的解析式中进行验证即可．
（3）已经给出了OD为平行四边形的边，那么OD、PP′必平行且相等，因此PP′必平行于y轴（即横坐标相同），且PP′=OD=3（即P、P′纵坐标的绝对值为3），据此确定点P的坐标．
（4）通过观察图形不难判断出：
①当点Q在x轴下方时，∠AFQ=30°，那么首先通过解直角三角形求出点Q的坐标，再代入抛物线C₁的解析式中进行验证即可；
②当点Q在x轴上方时，∠FAQ=30°，解法同①．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称图形的性质、平行四边形与直角三角形的性质等综合知识；难度较大的是后面两题，（3）题中，OD为平行四边形的边是解题的一个关键条件，而平行四边形的对边平行且相等是解题的主要理论依据；最后一题中，点Q的位置共有两种情况，这是容易漏解的地方．